23. Примеры: сравнение поперечных сечений для гауссовского потенциала и прямоугольной ямы.

Для иллюстрации того, как можно исследовать форму потенциала с помощью процесса рассеяния, сравним между собой поперечные сечения, возникающие при рассеянии на двух различных потенциалах:

Прежде всего получим общее выражение для коэффициентов Фурье сферически симметричного потенциала Введем полярные координаты Тогда искомые коэффициенты Фурье будут равны

Выберем ось по направлению вектора тогда

Интеграл по легко вычисляется; он равен а интеграл по а дает

Если — четная функция то

Для гауссовского потенциала получаем

Для потенциала в виде прямоугольной ямы находим

Задача 6. Доказать полученные формулы.

Обсуждение полученных результатов. Из уравнения (21.37) получаем

где — угол отклонения. Поэтому малое значение соответствует либо малым отклонениям, либо малым импульсам (медленные частицы). Мы видим, что для малых в обоих рассматриваемых случаях, так же как и в случае рассеяния на экранированном кулоновском потенциале (уравнение (21,35)), имеет место следующее равенство:

Другими словами, в этих случаях отсутствует член, линейный относительно (Это можно проверить для каждого случая непосредственным разложением потенциала.) Следовательно, для очень малых импульсов поперечное сечение не сильно зависит от угла.

Импульс, при котором поперечное сечение начинает заметно зависеть от угла, определяется формулой

В большинстве случаев это получается, когда или Следовательно, заметная угловая зависимость начинает осуществляться только для импульсов, превышающих величину А этот импульс будет порядка импульса, который, согласно соотношению неопределенностей, соответствует локализации частицы в объеме пространства с линейными размерами порядка

Когда величина становится настолько большой, что т. е. когда падающая волна достаточно коротка, так что она заметно колеблется при прохождении через область большого потенциала, то рассеянная волна начинает зависеть от угла. Пока практически невозможно отличить один потенциал от другого. Только при больших значениях поперечное сечение рассеяния начинает сильно зависеть от формы потенциала, например, в случае гауссовской ямы мы получаем для больших быстрый, но монотонный спад поперечного сечения с ростом угла, как показано на рис. 106.

Рис. 106.

Рис. 107.

Для квадратной ямы поперечное сечение хотя и убывает с ростом но при этом совершает затухающие колебания. Типичное поведение в этом случае при больших хорошо видно из рис. 107. Колебания о обусловлены в данном случае действием острых «краев» потенциальной ямы. Если края ямы сгладить, то коэффициенты Фурье изменялись бы более регулярно и в результате получилась бы картина рассеяния, напоминающая рассеяние на гауссовском потенциале.

Во всяком случае ясно, что, изучая угловую зависимость о при больших можно получить с помощью этого метода много сведений о форме поперечного сечения, если, конечно, можно с достаточным основанием пользоваться приближением Борна. (Условия применимости борновского приближения будут обсуждены в Чем более тонкие детали формы потенциала желательно обнаружить, тем до больших значений необходимо дойти в разложении Фурье.

Следовательно, требуется переходить ко все более высоким импульсам падающих частиц.