§ 4. Выражение энергии для негармонических колебаний

1. Оскулирующее гармоническое колебапие не вырождено.

Теорию, изложенную в § 3, молено применить для вычисления выражения энергии таких негармонических колебаний, которые можно считать получающимися из упругих при малых возмущениях. Рассмотрим сначала случай § 2, 1, где возмущающая функция определяется по § 2, (5). Если мы обозначим переменные действия, соответствующие возмущенной системе, через (без штриха), то, согласно § 2, (3) и § 3, (5), будем иметь: далее, согласно вследствие отсутствия непериодических членов в член ряда так что в первом приближении равно В таком случае К, вычисляется из Чтобы вычислить эту формулу, нужно сначала вычислить из § 3, (11). Используя из § 2, (5), мы получим:

Если подставить это значение и выражение из § 2, (5) в § 3, (12), причем двойная сумма исчезает, так как линейно относительно то мы получим выражение, из которого с помощью простых преобразований можно устранить все произведения тригонометрических функций, так что получится сумма тригонометрических выражений, из которой при усреднении остаются только непериодические члены. Таким образом мы получим:

Следовательно, приближенная формула для имеет вид:

Если мы произведем то же самое вычисление для возмущающей функции согласно § 2, (16), то мы уже для первого приближения получим выражение, отличное от так как содержит непериодический член, равный Если мы продолжим операцию до второго приближения, то:

есть выражение, получающееся из перестановкой значков. Если система вырождена, например, то формулы (4), (5) неприменимы для вычисления выражения энергии; формула (5) для во втором приближении вообще не годится; но и первое приближение также становится неверным, так как при вырождении в возмущающих функциях к вековым членам прибавляется член так что вековая часть принимает вид второго уравнения § 3, (27) и зависит теперь не только от переменных действия. Следовательно, нужно применять способ § 3, 3.