§ 3. Катушка с переменным током

1. Упрощения и симметрия задачи.

Приведенное ниже исследование поучительно в том отношении, что оно показывает, насколько можно идеализовать физическую задачу, не теряя из виду ее существенных особенностей. Мы будем считать катушку бесконечно длинной в направлении х и совершенно отвлечемся от формы сечения провода, от величины хода витков и от изоляции витков. Катушка превращается тогда в металлический полый цилиндр; пусть внутренний радиус будет внешний рис. 107.

Далее, мы будем считать магнитное поле внутри бесконечно длинной катушки однородным. Мы положим:

Точно так же снаружи мы будем считать поле однородным. Так как оно должна исчезать на бесконечности, мы должны будем взять:

Впрочем, вводя это предположение, мы тем самым покидаем строгую теорию Максвелла. В самом деле, уравнения стр. 808 дают для однородного магнитного поля, вследствие

и уравнениям удовлетворить уже нельзя. Мы становимся поэтому на до-Максвелловскую точку зрения, которая не знала токов смещения в непроводниках. С этой точки зрения, индукционные действия переменных магнитных полей учитываются только в проводниках.

Предположение об однородности поля влечет за собой то, что мы должны пренебречь распространением поля в направлении оси х и поэтому отбросить в введенный в предыдущих параграфах множитель Ибо условие стр. 808 безусловно требует для однородного поля:

Несмотря на то, что мы ограничиваемся до-Максвелловской теорией, в дальнейшем мы будем применять Максвелловский метод, т. е. единое описание поля с помощью дифференциальных уравнений и граничных условий. В этом отношении наша трактовка задачи с катушкой дополняет задачу в гл. XVIII, § 3, где точно такой метод вычисления был приспособлен к старой точке зрения. Как и там, мы будем называть нашу теперешнюю трактовку поля квазистационарной. В заключение этого параграфа мы вернемся к более строгой точке зрения.

Рис. 107.

Перейдем к области внутри катушки Здесь также параллельно оси х, но уже зависит от Зависимость от определяется волновым уравнением того же вида, как уравнение (5), §2, но при Из трех решений (6) уравнения (5а) мы будем пользоваться функциями (Весселева функция не занимает здесь особого положения, а обращение в бесконечность Ганкелевых функций при ничему не мешает, так как не принадлежит к рассматриваемой области). Итак, мы напишем:

Данное здесь выражение для соответствует тому обстоятельству, что внутри вещества катушки мы, несомненно, можем пренебречь током смещения.

Постоянные интегрирования нужно определить из граничных условий. Положим:

Тогда мы будем иметь, вследствие непрерывности магнитного поля при переходе через поверхность катушки, по (1), (2) и (4):

Это дает

Переменное поле индуцирует в веществе катушки переменный ток плотности Благодаря тому что мы пренебрегли изоляцией и ходом витков, мы можем считать распределение тока чисто азимутальным. Сообразно этому, мы положим

и по Максвелловским уравнениям стр. 808 (в этих уравнениях нужно взять только составляющую по так как составляющие по и по х принимают мы будем тогда иметь

Если бы мы хотели определить полный ток мы должны были бы интегрировать плотность по всему поперечному сечению. Последнее, однако, не определено. Мы поможем делу тем, что, кроме интегрирования по толщине мы проинтегрируем еще на единицу длины в направлении х. Если есть число витков провода на единицу длины (мы возьмем однослойную катушку), то согласие (7) или по указанному на рис. 107 слева "соотношению обхода" (линейный интеграл магнитного поля равен полному току через ограниченную контуром поверхность) мы имеем:

Прежде чем переходить к исследованию полученных результатов, мы попытаемся их строже обосновать. Вспомним о противопоставлении случаев в начале § 1 этой главы. Симметрии задачи с проводом, случаю А, можно противопоставить симметрию задачи с катушкой, случай В:

Все три неисчезающие составляющие мы возьмем, как в уравнениях (2), § 2, в виде:

где будут зависеть только от Определим эти величины сначала для воздушного пространства внутри катушки, где

При этом мы можем сослаться непосредственно на уравнения (7), (8), (9) стр. 913. Как там так здесь определяется, как конечное решение уравнения Бесселя. Как раньше определялось из так теперь определяется из из равенства нулю расходимости и т. д. Поэтому мы получим теперь:

Не вдаваясь в определение граничных условий, мы можем сраау сказать (ср. стр. 914), что должно быть того же порядка величины, что и Поэтому аргумент всех трех Бесселевых функций будет очень мал, и мы можем положить:

откуда

Но поэтому где X длина волны протекающего в катушке переменного тока. X во всяком случае чрезвычайно велико по сравнению с радиусом катушки а и расстоянием Поэтому мы будем иметь с большим приближением и по формуле (9)

что совпадает с нашим прежним предположением (1) и (3).

Таким образом, предположение, что внутри катушки магнитное поле однородно, а электрическим можно пренебречь, подтверждается также и с более строгой точки зрения при не очень больших частотах (не очень малых X).

С другой стороны, для воздушного пространства вне катушки, мы должны были бы положить, вместо (10):

должно здесь быть нулем, так как при и положительной мнимой части аргумента обращается экспоненциально в бесконечность [ср. (8) стр. 869]. На том же основании во внешнем пространстве не применима функция Но постоянная будет весьма малой, так что мы можем также взять . В самом деле, в противном случае уменьшалось бы во внешнем пространстве очень медленно (сначала даже увеличивалось бы), так как аргумент очень мал что бессмысленно. Таким образом, мы получим и вследствие этого также Это совпадает с нашим предположением (2) и (3) для внешнего пространства. На основании этого понятно, что и для области внутри вещества катушки формулы (4), (6), (7) окажутся приближенными выражениями строгого решения.