§ 2 Общие методы

1. Потенциальное движение; теорема Грина.

Теоремы Гельмгольца о вихрях показывают, что безвихревое, или так называемое потенциальное движение есть физически весьма важный случай движения жидкости. В самом деле, ввиду того что под действием консервативных внешних сил в жидкости не могут возникнуть вихри, всякое движение жидкости, получившееся состояния покоя под действием консервативных сил, есть движение потенциальное. Движение реальной жидкости можно считать потенциальным до тех пор, пока можно пренебрегать силами внутреннего трения.

Всякое потенциальное движение несжимаемой жидкости (этим случаем мы здесь и ограничимся) характеризуется математически следующими уравнениями, уже установленными в . Скорость равна

потенциал скоростей 9 в области, где нет источников, удовлетворяет уравнению Лапласа

а в области, где источники имеются уравнению Пауссопа

или проще, если есть интенсивность источника на единицу массы. В точечных источниках, где интенсивность источника бесконечно велика, уравнение Пауссона теряет смысл.

Для большинства математических преобразований целесообразно выключать из рассматриваемой области особенные точки или линии. Кроме точечных источников, такого рода особенностями являются еще вихревые линии, в которых потенциал скоростей не существует.

Исследование потенциального движения тесно связано с теорией потенциала, рассматриваемой в специальных курсах. Здесь мы разберем только те теоремы и методы теории потенциала, которые нам непосредственно понадобятся.

Теорема Гаусса, примененная к полю скоростей в безвихревой области, имеет на основании (1) следующий вид:

Здесь есть производная от по направлению внутренней нормали. Из уравнения неразрывности (2) мы получаем

Это уравнение выполняется для поверхности, ограничивающей любую конечную область, в которой о есть однозначная потенциальная (гармоническая) функция.

Из этого уравнения, выражающего тот факт, что поток через замкнутую поверхность равен нулю, легко вывести, что не может иметь внутри жидкости

максимума или минимума. Еще более важным является замечание, что величина скорости определенная через посредство равенства

не может иметь максимума внутри жидкости, в то время как минимумы могут существовать. Величина скорости достигает, следовательно, своего наибольшего значения на поверхности.

Весьма важную роль играет в теории потенциала теорема Грина, которая в том виде, как она приводится здесь, есть простое преобразование теоремы Гаусса.

Пусть суть две конечные, однозначные и непрерывные функции, обладающие в нашей области непрерывными производными первого порядка, и ограниченными производными второго порядка. Тогда имеют место нижеследующие уравнения:

Теорема Грина верпа и для бесконечных областей, если функции убывают на бесконечности, по крайней мере, как

Предположения, необходимые для доказательства теоремы Грина, налагают на ее применимость в гидродинамике известные ограничения, из которых главнейшее заключается в следующем. Если мы хотим применить ее к многосвявной области с циклическим потоком и подставить вместо одной из функций потенциал скоростей , то необходимо сначала сделать последний однозначной. функцией точки. Для этого необходимо превратить многосвязное пространство в односвязное, проведя в первом соответствующим образом выбранные сечения При этом все поверхностные интегралы надо брать не только но внешней поверхности, но и по поверхности этих сечений, из которых каждая будет фигурировать, в качестве границы области два раза.