§ 1. Задача об отражении плоских упругих волн

1. Уравнения распространения упругих волн.

Задача о распространении упругих колебаний, как мы знаем из предыдущих глав, приводит нас к системе дифференциальных уравнений для вектора смещения, имеющих вид:

Для нас представляется несколько удобнее записать эту систему в виде

одного векторного уравнения, для вектора смещения с составляющими Если ввести вместо постоянных так навиваемые постоянные Лямэ связанные с ними соотношениями:

то мы дадим уравнениям (1) вид:

Уравнения (2) могут быть сведены к обычным волновым уравнениям, соответствующим выбором известных функций. Посмотрим, как это можно сделать.

Прежде всего, разобьем вектор внешних сил X на два слагаемых, таким образом, что

где функция будет представлять собой так называемый скалярный потенциал, а вектор векторный потенциал.

Уравнения (2) будут удовлетворены, если мы положим:

где

и

Действительно, как не трудно видеть:

откуда

Подставляя эти выражения в равенства (2), легко убеждаемся в справедливости нашего утверждения.

Формула (3) представляет собою общее решение уравнений (2). Докажем это.

Допустим, что мы разложили каким-нибудь способом вектор смещения на два слагаемых:

из которых одно представляет собой вектор потенциальный, а другое вектор соленоидальный:

Подставляя разложение в наши уравнения (2) и перенося члены, содержащие в правую часть, а остальные — в левую, получим:

Так как для потенциального вектора совпадает с оператором Лапласа, а для соленоидального вектор равен оператору Лапласа с обратным знаком, то мы можем переписать полупенное уравнение в виде:

В написанном равенстве правая часть представляет собой вектор соленоидальный, а левая — потенциальный; следовательно, обе части не имеют ни вихря, ни расходимости, и являются так называемым лапласовым вектором, представляющим собой градиент гармонической функции. Обозначим этот вектор через

Тогда мы получим:

Однако разбиение вектора x на два слагаемых, которое нами сделано, не является единственным. Если бы мы ввели вместо вектор

а вместо вектор

то векторы давали бы также разбиение на два слагаемых, одно потенциальное, а другое соленоидальное:

Кроме того, как легко проверить, удовлетворяют каждый своему волновому уравнению:

Потенциальный вектор удовлетворяющий волновому уравнению (8), очевидно может быть представлен в виде градиента некоторого потенциала:

Этот потенциал может быть выбран таким образом, чтобы он сам удовлетворял волновому уравнению.

Действительно, подставляя в уравнение (8) выражение через потенциал, получим:

и следовательно

где - некоторая постоянная.

Но при этом, мы могли бы, вместо ввести другой потенциал

который удовлетворяет уравнениям:

Аналогично, векторный потенциал может быть представлен как вихрь некоторого соленоидального вектора:

Подставляя в уравнение (9) вместо его выражение через потенциал, получим:

Принимая во внимание, что вектор соленоидальный, мы видим, что выражение

представляет собою лаплаоов вектор, без вихря и расходимости.

Если мы теперь рассмотрим, вместо выбранного векторного потенциала другой отличающийся от него слагаемым

то, как легко проверить, новый потенциал будет обладать свойствами:

Формулы (8), (9), (10), (11), (12) и (13) показывают нам, что задача об интегрировании уравнений упругости сводится к задаче решения ряда волновых уравнений, для скалярного и векторного потенциалов или для двух слагаемых, на которые распадается вектор смещения.