7. Трехмерная задача диффракции плоских волн.

Подобно тому как мы рассмотрели задачу о диффракции волн в двухмерном пространстве, мы можем разобрать и трехмерную задачу.

Рассмотрим трехмерное пространство, определяемое тремя цилиндрическими координатами

Будем изучать колебания части этого пространства, определяемой неравенствами:

при граничных условиях типа:

или

Так же как и в двухмерной задаче, углы могут быть совершенно произвольными. Если и то мы получим задачу о колебании бесконечно-листного пространства с осью разветвления.

Для удобства примем старую нумерацию листов этого пространства, считая листом тот, где

Мы ограничимся здось разбором того случая, когда ось служит осью разветвления бесконечного порядка. Случай периодических решений вытекает отсюда с помощью рассуждений, совершенно совпадающих с теми, которые уж были нами однажды проделаны для пространства двух измерений.

Перейдем к постановке задачи.

Рассмотрим прежде всего элементарную плоскую волну, аналогичную элементарной волне в двухмерном случае.

В декартовых координатах в обычном неразветвленном простоанстве эта плоская волна определялась бы формулой:

где черев обозначены углы, составленные направлением, откуда движется волна, с осями координат. Для простоты ограничимся случаем, когда

В двухмерном случае мы просто считал до известного момента времени движение на нулевом листе совпадающим с заданной плоской волной, а на остальных листах принимали его за покой.

Рис. 58.

Очевидно, что в трехмерном случае этого принципиально нельзя сделать, так как в любой момент времени плоскость фронта волны пересекает ось разветвления. Поэтому здесь необходимо ставить задачу иначе, подобно тому как мы ставили задачу отражениг илоских волн.

Построим прежде всего конус с вершиной в точке пересечения фронта волны с осью разветвления, причем ось фронта совпадает с этой осью Угол растворения этого конуса выберем так, чтобы он касался фронта волны (рис. 58).

Выберем ту половину этого конуса, которая лежит целиком в возмущенное области, где и было бы равно единице при отсутствии точки разветвление Если считать, что наша плоская волна двигалась все время из бесконечностг на нулевом листе, то естественно сделать допущение, что непосредственной причиной того, что движение не описывается формулой (40) на нулевом листе и не является покоем на остальных, служит появление добавочных диффракционных воэмущений, возникающих в точках оси разветвления в момент падения туда плоской волны. При этом можно непосредственно проверить, на основании принципа Ферма, наш полуконус является той границей, до которой успело распространиться возмущение.

Поэтому задача о диффракции плоской волны в трехмерном случае ставится так.

Найти такое движение многолистного пространства, в котором мы имееь во внешности подуконуса на нулевом листе движение, определяемое формулой (40), а на остальных листах покой.

Для решения этой задачи вводим вспомогательную подвижную систему координат движущуюся поступательно в направлении отрицательной

оси со скоростью Эти координаты будут связаны со старыми посредством формул:

Из физических соображений очевидно, что в такой системе координат все движение будет иметь вид покоя. Иными словами и будет зависеть только от Подставляя отот результат в волновое уравнение и замечая, что:

получим для и уравнение:

Таким образом, задача свелась к интегрированию волнового уравнения в двухмерном случае со скоростью распространения

Нетрудно заметить, что задача о диффракции в такой постановке полностью совпадает с задачей о диффракции для двухмерного случая. При на нулевом листе и будет определяться формулой:

а на остальных листах мы будем иметь покой. Ответ на задачу совпадает с тем, который мы получили на предыдущих страницах:

где получаются заменой через через в формулах (13), (14) и (15).

Совершенно аналогично тому, как мы поступали в двухмерном случае, мы можем, интегрируя элементарное решение (44), получить задачу о диффракции плоской волны произвольного вида. Складывая волны, идущие в различных направлениях, мы получим периодические решения и решение задачи о диффракции относительно угла. Формулы, дающие окончательный ответ на вопрос, мы предоставим получить читателю.