4. Задача об отражении продольных волн. Случай комплексных потенциалов.

Рассмотрим упругое полупространство и допустим, что внутри этого полупространства в точке в момент подействовал какой-то источник продольных колебаний, вызвавший в первые моменты времени колебания, которые имеют поперечный потенциал равный нулю, а продольный, выражаемый с помощью функций комплексного переменного при помощи формулы

где

для точек, лежащих внутри конуса

и равный нулю на границе этого конуса и во внешности его.

Пока время меняется от до граница нашего полупространства находится в области покоя. Поэтому граничные условия удовлетворены автоматически и наличие границы никак не сказывается на движении. Когда возмущение доходит до границы среды, то есть при формула (35) перестает передавать процесс, так как наличие границы вызывает появление отраженных волн.

Задача отражения заключается в том, чтобы, зная как протекает движение при определить характер его при больших значениях.

Для решения этой задачи мы поступаем аналогично тону, как было сделано в теории плоских волн.

Прибавим к нашему потенциалу два других "отраженных потенциала" и так, чтобы добавленные слагаемые не изменяли картины движения при и чтобы решение с потенциалами

удовлетворяло граничным условиям.

Потенциалы мы будем искать также в виде вещественных частей некоторых функций комплексного переменного:

где удовлетворяет уравнению:

и уравнению:

Попробуем теперь определить функции так, чтобы при значения комплексных переменных совпадали с Очевидно, это условие будет соблюдено, если:

и

Таким образом, мы получим для уравнения:

Определим теперь знак перед радикалами. Как легко заметить, конус (37) пересекается с плоскостью по гиперболе.

Лучи, соответствующие комплексным значениям переменного , встречают эту плоскость во внутренних точках гиперболы. Внутренняя часть, ограниченная верхней ветвью гиперболы, точки которой имеют координату встречает лучи, отвечающие нижнему полукругу переменной то есть верхней полуплоскости переменной

Эти лучи, соответствующие верхней полуплоскости с точки зрения геометрической характеризуются тем, что при возрастании координаты координата у вдоль каждого луча уменьшается, и следовательно, с возрастанием у уменьшается Если мы вспомним установленный ранее факт, что направление луча при

заданных коэффициентах перед в уравнении, определяющем комплексную переменную, зависит исключительно от значения комплексной переменной, а не от свободного члена, то мы видим, что знак перед радикалами в уравнениях для не подходит. Действительно, при этом отраженные лучи (лучи, соответствующие отраженным будут при возрастании иметь убывающее у и, таким образом, проникнут обратно в пространство Это противоречило бы нашей постановке задачи.

Наоборот, если мы выберем в этих уравнениях знак то это равносильно изменению направления на Поэтому вдоль лучей, соответствующих значениям из верхней полуплоскости, будут возрастать одновременно. Окончательно получим:

Переменная , очевидно, соответствует некоторому воображаемому источнику в точке она, очевидно, принимает комплексное значение внутри отраженного конуса:

Геометрический характер лучей, соответствующих этой переменной, изучен достаточно хорошо. Переходим к описанию .

Так как на отраженных лучах принимает те же значения, которые принимала переменная на падающих, то очевидно, что совокупность этих значений состоит всей верхней полуплоскости и часги верхнего "берега" купюры , для которой Отраженные лучи, соответствующие комплексным значениям заполняют некоторую область (ср. § 2). Граница этой области состоит из лучей, соответствующих вещественным значениям 68, берущих начало на гиперболе:

в плоскости .

Эта граница является огибающей семейства плоскостей, получаемых из (44) подстановкой туда вещественных значений

Поверхность эта, очевидно, переходит через гиперболу (46) и отраженные лучи, соответствующие вещественным значениям , являются ее прямолинейными образующими.

Подставляя потенциалы и в граничные условия (25) § 1 и пользуясь формулами (42) того же параграфа, получим:

Так как при то мы можем обозначить эта величины одной буквой без значков: . Соединяя при этом одинаковые члены, мы вндим, что наиболее простым предположением, достаточным для выполнения этих условий, будет система равенств:

Можно доказать, что при весьма широких требованиях эти равенства являются и необходимыми для удовлетворения граничным условиям.

Решая эту систему уравнений, получим для и значения:

где

Символами обозначены числители полученных дробей.

Зпгя производные от и мы находим и сами функции непосредственным интегрированием.

Отметим одно важное обстоятельство. Так как на отрезке функция была чисто мнимой, то и с нею и на этом отрезке также будут чисто мнимыми.

При этом выбором постоянных можно добиться того, чтобы также имели бы вещественную часть равную нулю на этом отрезке. Благодаря этому, значения отраженных потенциалов на границе области комплексности будут равны нулю и, следовательно, во всем остальном пространстве мы можем положить равными нулю с выполнением всех кинематических и динамических условий совместности. Таким образом наша задача решена.