2. Внешность основного конуса.

Переходим теперь к рассмотрению внешности конуса (6). Легко проверить, что оба корня (7) в этом случае будут по модулю равны единице. Как мы уже отмечали в предыдущем параграфе, мы не обязаны при этом считать функцию аналитической функцией; достаточно предположить, что это произвольная (например, вещественная) функция переменного С, определенная на окружности единичного радиуса и дифференцируемая два раза вдоль этой окружности.

Формулы (7) имеют простой геометрический смысл.

Положим для определенности при

При фиксированном проведем в плоскости окружность радиуса центром в начале координат (рис. 46).

Из точки с координатами проведем две касательные к этому кругу и Тогда, как видно из рисунка,

то есть углу, составленному радиусом-вектором, проведенным в точку касания с осью х. Аналогично

то есть углу, составленному другим радиусом-вектором с осью х.

Переменная сохраняет постоянное значение вдоль каждой полукасательной к кругу , направленной в отрицательном направлении, равное где аргумент точки касания, а переменная сохраняет постоянное значение вдоль каждой полукасательной, направленной в положительную сторону; это значение также равно

При непрерывном переходе из области положительных значений в область отрицательных значений переходит в

Таким образом, при мы должны считать:

Рис. 46.

Рис. 47.

Это приводит нас к такому геометрическому построению. В плоскости проводим круг радиуса (рис. 47).

Для точки с координатами строим симметричную с ней точку с координатами , и проводим две касательных к нашему кругу — Тогда

то есть равен углу, составленному радиусом-вектором с начальной осью х,

то есть равен углу, составленному радиусом-вектором с начальной осью х.

Переменная сохраняет постоянное значение вдоль полукасательных к кругу (8), проведенных в положительном направлении, так как для точек лежащих на такой полукасательной, точка также попадает на такую полукасательную. Это значение равно где аргумент точки касания.

Точно так же переменная сохраняет постоянное значение вдоль полукасательных к кругу (8), проведенных в отрицательном направлении, и это значение равно

Результаты, полученные нами в пространстве могут быть изображены на следующем рисунке (рис. 48).

Переменная сохраняет постоянное значение на касательных полуплоскостях к конусу, направленных при положительном в отрицательную сторону,

а при отрицательном в положительную. Переменная сохраняет постоянную величину на других полуплоскостях.

Всякая функция, сохраняющая постоянное значение на плоскостях одной из этих систем, является функцией или и удовлетворяет волновому уравнению, если только существуют ее вторые частные производные.

Сумма двух функций такого типа

является решением волнового уравнения, представляющим собою однородную функцию нулевого порядка относительно Кроме того, справедливо и обратное заключение.

Всякая однородная функция нулевого порядка в области (6), удовлетворяющая волновому уравнению, может быть представлена в виде (23).

Рис. 48.

Для доказательства достаточно заметить, что такая функция зависит только двух аргументов:

Подставляя аргументы (24), в качестве независимых переменных, в волновое уравнение, мы приведем его к виду:

Для уравнения (25) легко написать общий интеграл Даламбера:

Отсюда, вводя опять и получим формулу (23). Наша теорема доказана.