19. Вихревые кольца.

Движение отдельных вихрей в плоском потоке может быть исследовано сравнительно легко по той причине, что при этом допустимо заменять вихри малого поперечного сечения изолированными вихревыми точками; такая замена не вносит заметного изменения в движение жидкости во всей области, за исключением ближайших окрестностей вихревых точек. При рассмотрении же пространственных, не прямолинейных вихревых нитей, их уже нельзя заменять изолированными вихревыми линиями. В самом деле, в 11 § 2 мы видели, что математическая фикция, которою является изолированная вихревая линия, приводит к бесконечному значению кинетической энергии; а это же самое обстоятельство приводит также к бесконечно большим значениям скоростей элементов изолированной вихревой линии.

Движение вихревых колец, т. е. круговых вихревых нитей с малым поперечным сечением, было исследовано уже Гельмгольцем. Поток, вызываемый вихревым кольцом, обладает аксиальной симметрией. Если ввести Стоксову функцию тока, то составляющие скорости в меридиональной плоскости будут, согласно уравнению (39) 12 § 2

а сама функция будет удовлетворять уравнению (40с), 12, § 2, а именно:

Здесь со есть угловая скорость вихревого движения, которую можно считать произвольной функцией от Уравнения (48) и (49) определяют тогда скорость, вызываемую вихревым кольцом произвольной структуры в любой точке пространства, в частности, внутри самого вихревого кольца, тем самым эти уравнения определяют также движение и изменение самого кольца.

Для одиночной круговой вихревой линии вид функции «V получается из соображений, аналогичных общим рассуждениям 8 § 2. Функция будет равна:

где есть угол между элементом дуги круговой вихревой линии и направлением от этого элемента к той точке, для которой вычисляется (точке наблюдения); величины суть наибольшее и наименьшее расстояния точки наблюдения от точек вихревой линии.

Скорость перемещения такого рода изолированного вихревого кольца бесконечно велика. Рассматривая вихревые кольца с малым (но конечным) круговым сечением, мы приходим к результатам, которые лучше согласуются с опытом. Впрочем, все выведенные для движения такого вихревого кольца формулы являются только приближенными. Если обозначить через радиус кольца и через в его радиус поперечного сечения, то скорость его перемещения получается равной Вихревое кольцо перемещается в том же направлении, в котором протекает жидкость через ограниченную кольцом круговую поверхность. При своем движении вихревое кольцо сопровождаете некоторым количеством жидкости, как бы "атмосферой", частицы которой описывают относительно кольца замкнутые траектории, проходящие сквозь его отверстие. Эта "атмосфера" заполняет односвязную или же кольцевую область, ограниченную поверхностью, охватывающей вихревое кольцо.

Совместное движение двух вихревых колец с одной и той же осью также было описано, по крайней мере качественно, Гельмгольцем. Если оба кольца имеют одинаково направленную циркуляцию, а значит, и одинаковое направление движения, то переднее кольцо будет расширяться, а заднее стягиваться. Скорость первого кольца будет уменьшаться, а второго — увеличиваться до тех пор, пока второе кольцо не догонит первое и не проскочит сквозь него; при этом предполагаются надлежащие начальные условия. После того, как оба кольца обменялись таким образом ролями, аналогичное явление начинается сызнова.

Когда два кольца с противоположной циркуляцией приближаются друг к другу, оба они расширяются, в то время как их скорость уменьшается. В случае полной симметрии, плоскость симметрии может быть заменена неподвижной стенкой. Вихревое кольцо, движущееся к стенке, будет поэтому асимптотически приближаться к последней и при этом неограниченно расширяться.