ГЛАВА XII. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ

Введение

Рассматржваемые в настоящей главе задачи распространения колебаний связаны все или с одним волновым уравнением

или с уравнениями теории упругости, которые могут быть приведены в двум волновым уравнениям указанного выше вида с различными значениями постоянной

Физическое значение волнового уравнения выяснено весьма подробно в предыдущих главах.

В олучае уравнений теории упругости мы подробно выясним их связь с волновым уравнением.

Еще в первой половине XIX века Пуассоном и Стоксом были решены задачи о распространении колебаний в безграничном пространстве, как для одного волнового уравнения, так и для уравнений теории упругости. Значительно более фгожной представляется задача распространения колебаний при наличии границ. С этой задачей связана теория отражения, а также проблема диффракции. Этим вопросам и посвящена настоящая глава. В некоторых исключительных, частных случаях задача непосредственно приводится к задаче о колебании безграничного

пространства. Это имеет, например, место одном волновом уравнении для полупространства с предельным условием или

Однако, та же проблема для уравнений теории упругости представляет значительные трудности.

Мы будем рассматривать в дальнейшем только такие задачи распространения колебаний, когда граница состоит из отрезков прямых линий (нлоский случай) или плоскостей (трехмерный случай).

Переходя к короткому иоторнческому очерку, мы начнем с одного волнового уравнения. В этом случае задача отражения от плоскости, как мы уже указывали, не представляет никакого труда. Задачи диффракции для одного волнового уравнения решались главным образом для установившихся синусоидальных режимов. Обширный материал в этом направлении имеется в одной из предыдущих глав. Там же имеется ссылка на новую работу Рубиновича, который рассматривает одну специальную задачу диффракции при любых начальных условиях. Упомянем еще о некоторых работах Зомнерфельда и Лэмба, в которых рассматривалась диффракция общего вида плоской волны относительно ширмы.

Значительно сложнее представляются аналогичные проблемы для уравнений теории упругости. В 1887 году Рэлей указал для случая полупространства со свободной границей некоторое синусоидальное решение, удовлетворяющее предельным условиям и затухающее с глубиной.

Эта работа Рэлея была источником целого ряда работ, близких хронологически к нашему времени, в которых аналогичные решения даются для более сложных граничных условий и для случая слоистых тел. Во всех этих решениях мы, строго говоря, не имеем задачи распространения определенным образом локализованного в начальный момент возмущения, а имеем лишь распространение фазы некоторого синусоидального решения, удовлетворяющего предельным условиям.

В атом направлении пожалуй самым крупным явлением была работа Лэмба (On the propagation of Tremors over the Surface of an Elastic solid, Phil. Trans., 1904 p. 203), в которой во всей полноте рассматривалась задача о распространении колебаний в полупространстве со свободной границей, как в двухмерном, так и в трехмерном случае, причем источником колебания являлась сосредоточенная сила, действующая в некоторой точке поверхности нормально к этой поверхности. В этой работе впервые была выяснена для распространенного случая роль поверхностных волн. Общее решение было составлено Лэмбом из бесчисленного множества решений синусоидального типа, то есть по существу Лэмб пользовался методом Фурье. Применение этого метода, в связи с наличием непрерывного спектра собственных колебаний полупространства, привело к довольно значительным математическим трудностям даже в той частной задаче, которая была рассмотрена Лэмбом.

Что касается законов отражения упругих колебаний, то здесь мы имеем до настоящего времени решенными лишь наиболее простые задачи, а именно задачу отражения синусоидальных волн, а также простейшие случаи задачи отражения плоской волны от прямоугольной границы. Наконец, в задаче диффракции упругих волн и по сию пору ничего не сделано.

В связи с нашим историческим очерком упомянем еще об одном вопросе, связанном с теорией распространения колебаний. Мы имеем ввиду вопрос о прерывных решениях волнового уравнения или уравнений теории упругости.

Во всякой задаче распространения колебаний от локально сконцентрированного начального возмущения мы имеем, по существу, дело с такого рода прерывными решениями. В важнейших случаях рядом авторов (Риман, Гюйгенс, Адамар) были выяснены те дополнительные условия, которым должны удовлетворять прерывные решения на поверхностях разрывов.

В настоящей главе мы занимаемся следующими проблемами.

Для одного волнового уравнения мы рассматриваем общую задачу диффракции любого начального возмущения, имеющего вид плоской волны, относительно логарифмической точки разветвления римановской плоскости, причем начальное возмущение имеет место лишь на одном из листов этой плоскости. Для решения этой задачи весьма целесообразно несколько расширить класс прерывных решений волнового уравнения и найти то, что мы называем обобщенными решениями волнового уравнения. Эти вопросы излагаются в § 7 и 8.

Далее мы переходим к материалу, изложенному в настоящей главе и относящемуся к теории упругости.

Здесь мы излагаем, прежде всего, общую теорию плоских упругих волн для полупространства, причем под плоской волной мы понимаем решение уравнений упругости, удовлетворяющее предельным условиям и зависящее от некоторой линейной комбинации координат и времени с комплексными коэффициентами.

Далее мы излагаем общую теорию отражения упругих волн некоторого специального типа от прямоугольной границы (в плоском случае). Это дает нам, в частности, возможность решить задачу, аналогичную вадаче Лэмба, и для того случая, когда источник колебаний находится внутри среды. Принципиально важным является то обстоятельство, что применяемый нами метод, как показали последние исследования, которых мы не можем здесь касаться, дает решение общей задачи о колебании слоистой среды при наличии внутреннего источника.

Далее мы приводим решение, задачи о колебаниях упругого полупространства, как в двухмерном, так и в трехмерном случаях при любых начальных условиях.

Решение всех задач объединено одним общим методом. Характерном для этого метода является применение теории функций комплексного переменного к построению решений волнового уравнения. В § 2 и § 5 мы излагаем основы этого метода, как для двухмерного, так и для трехмерного случаев.

Весь излагаемый здесь материал возник из работ теоретического отдела Сейсмологического института Академии наук СССР.

Основные задачи теоретической сейсмологии требовали усовершенствования математического аппарата в проблемах распространения колебаний. В первую очередь стоял вопрос о продолжении упомянутой выше работы Лэмба. При этом казалось, что использование метода Фурье для случая колебания не вполне ограниченной среды представляется мало целесообразным, и было настоятельно необходимо выработать новый метод, который дал бы возможность непосредственно изучать распространение колебаний, минуя те элементарные решения, которыми пользуется метод Фурье. 4

Таким новым методом и является общий метод всего дальнейшего исследования, а именно, метод комплексных решений волнового уравнения.