5. Поверхностное распределение источников; слои источников.

Если мы имеем конечную или простирающуюся в бесконечность область в которой задана однозначная функция удовлетворяющая во всех точках уравнению Лапласа (а в случае бесконечной области, убывающая на бесконечности,

как ), то мы можем вычислить значение функции 9 в любой точке А области если известны значения и во всех точках границы этой области (рис. 28). В самом деле, из теоремы Грина [уравнение (4b), 1] следует, что

Здесь есть значение функции о в точке есть расстояние от точки А до точки на поверхности, по которой производится интегрирование.

Наметим вкратце вывод этого выражения из уравнений . В этом уравнении надо заменить на V на и принять во внимание, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках области, а величина удовлетворяет ему во всех точках, за исключением точки А. Точку А следует выделить поэтому из остальной области, окружив ее небольшой сферой. Тогда в остальной области девая часть уравнения будет равна нулю. Зато в правой части придется интегрировать не только по первоначальной границе области но и по поверхности вырезанной сферы. Этот последний интеграл можно вычислить, приближая радиус сферы к нулю; он дает добавочный член, равный

Рис. 28.

Если заменить точку наблюдения А, лежащую внутри другой точкой В, лежащей вне (в дополнительной части пространства 1% то при вычислении интеграла усложнение, связанное с необходимостью выделения особенной точки, отпадает. Обозначая расстояние точки В от точки на границе области через мы получаем

Гидродинамический смысл уравнения (16а) состоит в том, что оно позволяет найти потенциал скоростей, следовательно, и течение жидкости в любой точке внутри области, если нам известны значения потенциала и нормальной составляющей скорости жидкости на границе. К сожалению, поверхностное распределение обеих этих величин никогда не бывает известно одновременно. Мало того, одновременное задание обеих этих величин даже и невозможно, так как они не независимы. В самом деле, не упомянутой нами в 2 теоремы единственности следует, что для однозначного определения потенциала скоростей в достаточно задать поверхностное распределение одной из этих величин. Распределение второй величины получаемся однозначно из распределения первой, но только после того, как мы решим всю эадачу с граничными условиями.

Другое физическое толкование уравнения (16а) основано на том, что интегралы

суть потенциалы, происходящие от простых источников с поверхностной плотностью и от двойных источников поверхностной плотностью момента , распределенных на поверхности, ограничивающей область Это распределение простых и двойных источников на поверхности области ни в коем случае не является, однако, единственным, так как тот же самый потенциал внутри области может быть вызван бесчисленным множеством других распределений.

Для получения последних рассмотрим потенциал о, удовлетворяющий уравнению Лапласа в области полученной вырезанием области всего бесконечного пространства. Если мы обозначим, как раньше, через расстояние от точки до точки на поверхности, а через — дифференцирование по внутренней (относительно области У) нормали, то по уравнению имеем для Т:

Складывая это с уравнением (16а), получаем

Это дает нам наиболее общее распределение простых и двойных источников на поверхности У, которое вызывает данный потенциал внутри Плотности этих распределений будут соответственно

Мы видим, что путем соответствующего выбора о можно обратить в нуль или одним и только одним способом. Следовательно, существует одно распределение простых источников, а также одно распределение двойных источников на поверхности которые, каждое в отдельности, дают внутри искомый потенциал скоростей в, т. е. вызывают там данное безвихревое движение.

Эти результаты не могут быть непосредственно применены к случаю многосвявных областей и циклических потенциалов. Такого рода области необходимо предварительно превратить в односвязные, путем проведения соответствующих сечений; эти сечения нужно покрыть затем надлежащим образом распределенными двойными источниками.