3. Две магнитные антенны или одна электрическая и одна магнитная антенны.

Пусть теперь в находятся магнитные диполи с осями

и А, т. е. рамочные антенны, плоскости которых стоят перпендикулярно к Обе эти оси, которые опять могут быть произвольно ориентированы одна относительно другой, мы [возьмем за оси точки начало прямоугольных систем координат. В непосредственной близости поле каждого диполя задается уравнением (9). Поля получаются из (9) с помощью уравнений (21) стр. 842. Если подставить получающиеся выражения в уравнение (10), для то на этот раз исчезнут так как, при подстановке из (21), под интегралом будут только нечетные степени х, у, z. Напротив, будут теперь отличны от нуля, а именно, если и обозначают значения постоянной в мы получим:

Эти интегралы имеют тот же вид, что и вычисленный в предыдущем пункте интеграл только теперь вместо стоят Уравнение (12) дает поэтому:

Если считать одинаковыми с обеих сторон, уравнение (18) приводится к

или, подробнее:

Исходящее от антенны излучение дает в точке и в направлении магнитное поле, равное по амплитуде и фазе тому магнитному полю, которое антенна даст в точке О, в направлении

При неодинаковых значениях о в точках и при одинаковом излучении, диполи связаны соотношением, аналогичным (16):

Вместо (18) мы получим, приравняв

так что и в этом случае получается вполне определенное отношение принимаемых в обоих случаях напряжений, зависящее только от значений материальных постоянных в окрестностях излучателей.

Наконец, пусть в находится электрическая (линейная) антенна, а в магнитная (рамочная) антенна. Тогда мы должны взять для выражения (18) стр. 840, а для выражения (21) стр. 842. Одинаковая в обоих случаях мощность отправителя обозначает равенство моментов электрического и магнитного диполей, если обе антенны находятся в нормальной среде; в общем случае, нужно, согласно (16) и (20), выбрать в таком отношении друг к другу, чтобы было:

Теперь из четырех интегралов (10) исчезают и из уравнения (8) мы получаем:

Вычисление дает:

т. е.

в частности, если обе антенны находятся в воздухе:

Электрическое поле, принимаемое электрической антенной от магнитного диполя в равно по амплитуде, но противоположно по фазе, тому магнитному полю, которое испускается электрическим диполем в и принимается магнитной антенной при этом предполагается, что обе антенны излучают" одну и ту же энергию и фаза берется относительно фазы соответствующего отправителя.

Особенно замечательно и важно для практики то обстоятельство, что наша теорема совершенно не зависит от свойств поверхности земли между отправителем и приемником. Между ними земля и вода могут чередоваться совершенно произвольно. Точно также не существенны свойства почвы в местах нахождения отправителя и приемника, так как от этих свойств зависят только множители в уравнениях (18) и (21). Поэтому свойство взаимности остается в силе, когда отправитель находится на земле, а приемник на воде или наоборот. Равным образом, в нашем доказательстве ничего не предполагалось относительно однородности атмосферы, подобно тому как в оптике обратимость пути света верна для слоистой среды, так же как и для однородной. Нужно только исключить внешнее магнитное поле (например, поле земли).

Очевидно, что наша теорема взаимности может значительно упростить исследование частных случаев. Например, можно определить, с какой интенсивностью земная станция принимает сигналы аэроплана, когда его положение меняется и почва имеет любые свойства, если мы внаем поле, которое станция дает в воздухе. Для последней вадачи мы развили необходимые формулы в § 1 (правда, для однородной земли и однородной атмосферы). По теореме взаимности эти формулы можно перенести на случай: отправитель в воздухе, приемник на земле.