4. Плоские струи. Методы Гельмгольца и Кирхгофа.

Если пренебречь действием внешних сил, в частности, силой тяжести, то образование струй в плоском потоке может быть изучено с помощью комплексного потенциала. В этом случае каждая граница струи есть линия тока, на которой, согласно уравнению (34), 12, § 1, величина скорости должна оставаться постоянной.

Будем считать комплексную переменную функцией от комплексного потенциала

и введем другую комплексную переменную

По уравнению (5), 1, выражение

есть комплексная величина, модуль которой равен обратной величине скорости, а аргумент а есть угол между направлением скорости и осью х

Часто применяется еще одна вспомогательная переменная

Плоскость со может быть конформно отображена на плоскость С (или С). В плоскости линии тока изобразятся как прямые, параллельные оси Таким образом, изображениями твердой границы потока (сменки), а также свободной поверхности струи будут там такие же прямолинейные отрезки. На свободной границе струи величина скорости остается постоянной. Свободные границы струи изобразятся поэтому в плоскости С отрезками дуг концентрических кругов с центром в начале координат. Если мы, кроме того, ограничимся тем случаем, когда твердой границей потока являются прямолинейные стенки, вдоль которых направление скорости а остается постоянным, то эти границы изобразятся в плоскости С отрезками полупрямых, исходящих из начала координат. Если ввести еще вместо плоскости С вспомогательную плоскость С, то

многоугольники, образованные в плоскости С дугами кругов и отрезками полупрямых (радиусов), перейдут в плоскости С в прямолинейные многоугольники, стороны которых параллельны координатным осям.

При указанных ограничениях получение плоских струй жидкости приводится к конформному отображению области, ограниченной прямыми линиями в плоскости а, на многоугольники из дуг кругов плоскости С пли на прямолинейные многоугольники в плоскости С. Такое отображение может быть произведено с помощью формулы Шварца-Кристофеля. Если мы затем определим С как функцию от а, то связь между значит и фактическая граница струи может быть найдена с помощью одной квадратуры.

В примере, рассчитанном Кирхгофом (рис. 38), рассматривается вытекание струи не щели в бесконечно большом сосуде (полуплоскости); направление струи на бесконечности перпендикулярно к плоскости щели. Пусть линии тока, ограничивающие струю, будут

Рис. 38.

Мы должны отобразить бесконечную в обе стороны полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми, в плоскости а, на область в плоскости С, которая получается из полуплоскости, если из нее вырезать полукруг. Четыре точки, обозначенные на каждом рис. 38 черев 1, 2, 3, 4, соответствуют одноименным точках на остальных чертежах.

Искомое отображение дается уравнением:

Связь между и а получается следующая:

Уравнения обеих границ струн будут:

Ширина щели получается отсюда равной ширина струн на бесконечностн сжатие струн будет

Аналогичным образом может быть рассмотрено вытекание жидкости и: бесконечно большого сосуда (вся плоскость) черев канал, ограниченный двумл параллельными прямыми, уходящими в бесконечность, причем канал нескольш вдается внутрь сосуда. Сжатие получается при этом, в согласии с теорией Ворда, равным 1/2. Эта вадача была решена Гельмгольцем в качестве первой примера раврывного движения жидкости, с помощью примененного им функционального уравнения для вначений комплексного потенциала на поверхности разрыва. В развитие результатов Гельмгольца, Кирхгоф разработав вышеописанный метод конформного отображения. В параллель с первоначальным методом Гельмгольца можно поставить недавнее исследование Леви-Чивита. изучавшего так навываемые перманентные волны на поверхности жидкость с помощью функционального уравнения (см. ниже 7, § 3).

Рис. 39.

Особенно важным является разобранный Кирхгофом же пример плоского потока, набегающего на пластинки и расщепляемого последней на две части, отделенные друг от друга областьк "мертвой воды" (рис. 39). Существующая при непрерывном потоке симметриг течения в областях спереди и сзади пластинки, приводящая к отсутствии сопротивления движению пластинки в жидкости (парадокс Даламбера), в случае разрывного потока исчезает. Пластинка окавывает отличное нуля сопротивление, которое, правда, примерно на одну треть меньше наблюдаемого на опыте, но все же имеет верную вавнсимость от скорости жидкости на бесконечности, от ее плотности и от ширины пластинки.

Предположим, что жидкость, имеющая на бесконечности скорость, равную направленную обратно положительной оси у, обтекает пластинку ширины расположенную вдоль оси х от до Тогда отображение плоскости а на плоскость С дается уравнением:

где к есть неопределенная пока постоянная. Свявь между получается отсюда следующая:

Отделяя в этой уравнении вещественную и мнимую части, мы получим уравнения линий тока и, в частности, той них которая идет вдоль пластинки, а пластинкой составляет свободную границу между движущейся и покоящейся жидкостью ("мертвой водой"). Ширина пластинки при этом получается равной

откуда и определяется постоянная й.

Сопротивление пластинки может быть легко вычислено с помощью уравнения Бернулли, причем получается

где есть, как и раньше, плотность жидкости. Вид уравнения (15) соответствует экспериментально установленному закону сопротивления, квадратичному относительно скорости (см. ниже 17, § 3). Впрочем, коэффициент сопротивления получается здесь несколько меньшим действительного. О методе Кирхгофа существует обширная литература, в которой на ряде примеров разобрано образование и слияние струй, а также неучены и силы, появляющиеся (вследствие образования "мертвой воды") при отрыве струи от твердых стенок и возникающие при падении струй на твердые препятствия.

В последнее время Б. Экк применил этот метод к изучению потока в вентилях (клапанах) при упрощающих предположениях, что задачу можно считать двухмерной и что можно пренебречь влиянием трения.