2. Выражение для разветвленной функции плоской волны в виде сходящихся рядов по Бесселевым функциям.

Мы будем исходить из уравнения (10а), § 1. Для пути интегрирования, лежащего в положительно мнимой полуплоскости переменной (см. рис. 91), т. е. там, где пишем разложение:

Выполнив интегрирование в (10а), § 1, получим:

причем пределы интегрирования обозначены как на рис. 95. Согласно уравнению (4), определяющему сумма тождественна с

Возвращаясь к уравнению (10а), рассмотрим, с другой стороны, часть пути интегрирования, лежащего в отрицательно мнимой полуплоскости, где

Здесь мы должны разлагать так:

Выполнив интегрирование в (10а), получим

где пределы интегрирования обозначены попрежнему, согласно рис. 95. Согласно уравнению (4а) мы можем написать вместо этого

Сумма (9) и (9а) дает искомое представление для функции на поверхности Римана в виде ряда:

В частности отсюда следует, при когда и делается равным (плоская волна в простом пространстве), ряд по Бесселевым функциям целых порядков, который часто употребляется в качестве определения этих функций. Заставим с другой стороны стремиться к бесконечности (плоская волна на бесконечно разветвленной поверхности), и мы получим из (10) интеграл от Бесселевых функций с непрерывно меняющимся индексом. Положим, т. е. тогда из (10) получается, после перехода к пределу своеобразная формула

Уравнение (10) представляет точный аналог степенных рядов в двухмерной теории потенциала. Здесь мы будем иметь в окрестности обыкновенной точки наиболее общее выражение потенциала:

и в окрестностях -кратной точки разветвления:

или в комплексном виде (положив и присоединив сопряженный потенциал):

[так называемые ряды Пюнзе (Puiseux)]; при волновое уравнение переходит в уравнение потенциала, функция переходит тогда, с точностью до множителя, в соответствующую степень а паше выражение (10) — в ряд Пюнзе (или его вещественную часть).

Отсюда одновременно следует, что около точки разветвления, т. е. для само и остается конечным, а нет. Из (10) и следует для

причем мы написали только первый член, который наиболее сильно обращается в бесконечность. обращается в бесконечность так, что для

На это уже было указано на стр. 850, (сноска 1).

Разложение (10) можно перенести с Римановсй плоскости в Риманово пространство. Интеграл в (14а), § 1, имеет ведь совершенно такой же вид, как и в (10а) § 1. Поэтому предыдущее вычисление дает для функции плоской волны в -кратном пространстве Римана (у — косинус между направлением падения и линией разветвления,

Это же разложение можно с помощью нетрудного преобразования приспособить к задаче с клином. Если дело идет, как на стр. 863, о клинообразной области с углом 26, плоскости которой периодически отнесены друг к другу, то нужно только заменить и через как уже замечено там же. Зависимость от азимута задается теперь и идаеет в самом деле период 26.

В получающемся уравнении порядок Весселевых функций будет

Если мы теперь захотим перейти, например, от ряда (10) к действительному вычислению решения и, мы столкнемся, по крайней мере в оптическом случае, с практической невозможностью сделать это. Так как и в виду того, что во всех оптических (не акустических) задачах точка наблюдения удалена от края экрана на очень большое число длин волн, нам пришлось бы вычислять Бесселевы функции для очень большого аргумента. Мы должны были бы пользоваться асимптотическими формулами (8) для вычисления тех членов ряда, в которых порядок Весселевых функций мал по сравнению с их аргументом, и получили бы все эти члены ряда приблизительно одной величины. Убывание членов ряда начинается только в области применимости асимтотических формул Дебая (ср., конец 1). А это значит, что хотя сходимость теоретически существует, но практически она совершенно недостаточна; число членов, которые пришлось бы вычислить, было бы порядка Поэтому мы должны обратиться к совершенно другому (теоретически расходящемуся) способу приближенного представления решения.

Если дело идет не о разветвленном, всюду конечном, решении (плоская волна), а о решении с логарифмической особой точкой (цилиндрическая волна от светящейся линии), то, согласно стр. 862, мы должны исходить из выражения (17), § 1 и заменить там через где есть первая Ганкелева функция нулевого порядка. Для этого решения также существует разложение в ряд по Весселевым функциям, аналогичное рядам Маклорена (Maclaurin) в теории функций. Оно имеет различный вид, смотря по тому, будет ли расстояние от точки наблюдения точки разветвления, расстояние от источника, т. е. от светящейся линии)

Коэффициенты такие же, как в (10). В частности, для

и уравнение (12а) дает тогда так называемую теорему сложения Ганкелевых функций (ср. § 3, 2).

Рис. 97.