4. Теорема Больцмана.
Вычислим теперь относительное время пребывания для 
-кратной импримитивной системы, т. е. найдем при помощи (37) функцию 
удовлетворяющую уравнению (5) или уравнению (5а) при любых значениях 
Введем опять вместо 
в фазовом пространстве криволинейные координаты 
при помощи уравнений (12), (13). За элемент объема в пространстве состояний примем элемент объема, соответствующий фазовой области 
величина которого определяется формулой (16). Рассматривая фазовую область объема 
получающуюся вследствие движения области 
необходимо принять во внимание, что, на основании интегралов § 7 и уравнения (3), координаты 
а следовательно, и 
не изменяются при движении. Если опять обозначить через х-величины, в которые переходят координаты 
при движении, то:
где А получается из А при замене 
на 
Величины же 
как в 
так и в 4 равны значениям 
позтоянных интегрирования 
однозначных интегралов § 7, (3). Поэтому из (37) и (38) следует:
Из (39) мы видим, что функция
представляет собою решение уравнения (5), причем К есть постоянная, которую можно определить из (4).
Решение (36) уравнения (5) единственно с точностью до постоянного множителя. В самом деле, пусть 
есть два решения уравнения (5). Деля равенство 
на равенство 
мы получим:
откуда следует, что это отношение вдоль всей фазовой кривой должно иметь одно и то же значение. Но так как фазовая кривая "заполняет" 
-мерный объем, определенный постоянными 
§ 7 (3), то это отношение постоянно во всей области, 
отличаются друг от друга только на некоторый постоянный множитель, который мы можем включить в К в (40). Таким образом, мы получим из (40), (15) и (3) для относительного времени пребывания в фазовой области 
формулу Больцмана:
причем знаменатель этого выражения является функцией 
так как, решая (3), § 7 мы можем представить координаты 
при помощи постоянных 
в виде функций величин 
Постоянная К, которую можно вычислить из (4), также является функцией от 
Если вместо области состояний 
(как мы будем, более точно писать вместо 
ввести величину ее объема 
то из (42) и (25) следует, что
где 
есть определитель, составленный из 
при 
Применим эту формулу Больцмана к двум важным частным случаям, когда 
Допустим сначала, что существует как раз 
интегралов уравнений движения;
которые можно однозначно решить относительно 
и что не существует системы, имеющей больше чем 
однозначных интегралов. Тогда вероятность нахождения координат положения механической системы в промежутке между 
или, как говорят, вероятность нахождения системы в "конфигурации 
равна, согласно (42):
