5. Приближенное представление решения.

Интеграл Как часто бывает, исследование этих общих формул оказывается труднее их получения. Цопутно, заметим сначала следующее: наш путь интегрирования — вещественная ось — проходит при вещественном через точки разветвления что приводит к неопределенности в знаке корпя Мы можем избежать этого, считая комплексным, как и но с произвольно малой положительной мнимой частью (соответственно, очень малой проводимости воздуха). Тогда и для и для точки разветвления лежат попарно в положительно мнимой и отрицательно мнимой плоскости

Риманова поверхность, на которой однозначны под интегральные функции для и будет иметь четыре листа, в соответствии с четырьмя комбинациями знаков По условию, сделанному на стр. 941 и необходимому для сходимости интегралов, мы будем рассматривать только один из этих четырех листов — назовем его верхним — именно тот, для которого оба корня имеют положительную мнимую часть. По этому верхнему листу и проходит наш первоначальный, вещественный, путь интегрирования; деформируя его, мы должны заботиться о том, чтобы оставаться на первом листе. В качестве разрезов мы должны веять те линии, на которых вещественные части равны нулю. Эти разрезы (см. рис. 112) проходят в положительно-мнимой полуплоскости от до в отрицательно-мнимой — от до При деформировании пути интегрирования мы не должны переходить через эти линии разветвления.

Рис. 112.

Подинтегральные функции имеют еще по особой точке в каждой полуплоскости, именно, по полюсу там, где знаменатель обращается в нуль. Величину можно вычислить, согласно (15а), из уравнения:

Возводя в квадрат, находим:

или

Заметим, что это выражение совпадает с (8а) гл. XXI, § 1, стр. 905.

Так как величина определена через посредство ее квадрата, мы должны условиться в выборе ее знака. Мы будем считать, что мнимая часть положительна.

Для полноты покажем еще, что точка лежит в верхнем листе нашей поверхности Римана. Если бы эта точка лежала в одном из нижних листов, то она выпала бы из нашего рассмотрения, так как путь интегрирования не мог бы проходить через нее. Выразим корни квадратные, входящие в формулу (20), через величину Мы имеем:

Чтобы показать правильность выбора знака в этих формулах, достаточно убедиться, что правые части выражений (23) имеют положительную вещественную часть. Для этого положим:

где весьма малы и положительны, а почти равно Вещественные части в (23) будут положительны при условии

а это условие, в силу сказанного, можно всегда считать выполненным. Из уравнения (23) следует, что равенство (20) действительно имеет место, т. е. что знаменатель действительно обращается в нуль в верхнем листе поверхности Римана. Если бы в одной из формул (23) был обратный знак, то в верхнем листе вместо (20) имело бы место равенство

и тогда полюс не лежал бы в верхнем листе.

Переходя к исследованию интегрального выражения (18), оттянем, как показано на рис. 112, путь интегрирования в верхнюю часть положительно мнимой полуплоскости, где первая функция Ганкеля исчезает на бесконечности. Путь интегрирования тогда будет висеть на разрезах и и, кроме того, на полюсе тогда как линии подхода к полюсу, как известно, ничего не дают для интеграла. Обозначим эти три части в названном порядке через и и напишем:

Займемся сначала слагаемым происходящим от полюса. В окрестностях нолюса мы имеем:

где, на основании (15а):

Подставляя сюда значения квадратных корней из (23), получаем:

Вычисляя по теореме Конш вычет интеграла (18) в точке и пользуясь (27), получаем:

Введем особое обозначение для величины с которой нам чаото придется встречаться, а именно, положим:

В силу нашего выбора знака квадратного корня, мнимая часть х будет положительна. Если мы подставим (29) в (28), мы можем величину написать в виде:

Заметим, что это выражение, вследствие множителя обращается в бесконечность при т. е. на вертикальной прямой над диполем. взятое в отдельности, оно не может иметь физического смысла, и необходимо присоединить к нему другие два члена