§ 3. Теплопроводность и диффузия в ограниченных телах

1. Температура (концентрация) на поверхности постоянна.

Тело ограничено плоскостью. В этом параграфе мы рассматриваем задачи, в которых, в противоположность предшествовавшим, среда ограничена. В этих задачах задание начальных условий недостаточно для однозначности решения и необходимы еще данные о температуру тела на его внешней поверхности. Мы ограничимся сначала условием постоянства температуры на ограничивающей поверхности. Это условие — поддерживание поверхности при постоянной температуре — на практике осуществляется соприкасанием поверхности с плавящимся или кипящим телом или с потоком жидкости постоянной температуры. Во всех рассматриваемых случаях тело однородно и изотропно и, следовательно, справедливо дифференциальное уравнение § 1, (13).

Рассмотрим сперва одпомерный случай. Первая задача, которую мы рассмотрим, следующая: с одной стороны тело ограничено плоскостью с другой стороны простирается в бесконечность. Ищется решение дифференциального уравнения:

при условиях:

В этом случае, как и во многих других, решение можно получить посредством следующего искусственного приема. Продолжим начальное условие за пределы

граничной поверхности так, чтобы граничные условия были выполнены тождественно. Мы уже пользовались этим приемом. В рассматриваемом случае дело весьма просто — нгосредственно видно, что продолжение

обладает требуемым свойством. Согласно § 2, (7) и (8), разыскиваемое решение дает функция

или

Если, например, начальная температура ностоянпа и равна С, то мы получим отсюда, в обозначениях § 2, (11):

Это решение тождественно с § 2, (12). Действительно, там мы получили результат, что при температура сохраняет свое значение с течением времени. Итак, здесь справедливы все выведенные там заключения о скорбрти распространения тепла, только она толкуется здесь как "охлаждение нагретого тела".

Мы видели в § 2, (14), что время, необходимое для проникновения некоторой определенной температуры на заданное расстояние х от поверхности внутрь проводника, прямо пропорционально квадрату величины Этот факт можно использовать для измерения теплопроводности по Ипгепхоузу. Представим себе несколько стержней из различных исследуемых материалов и покроем их поверхности легкоплавким веществом с определенной точкой плавления. Концы стержней поддерживаются при постоянной температуре, например, посредством погружения в водяную баню, или так, что они прикреплены к трубе, через которую протекает водяной пар. Тогда измеренные в один и тот же момент времени для различных стержней расстояния мест плавления от концов стержней прямо пропорциональны их теплопроводностям.