ГЛАВА IV. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
§ 1. Вывод уравнений движения
1. Координаты положения.
Положение твердого тела в пространстве может быть определено, если определено положение прямоугольной координатной системы, жестко связанпой с телом, относительно системы, покоящейся в пространстве. Проще всего это можно сделать, задавая вектор положения 
начала системы, связанной с телом, и девять косинусов углов между осями обеих систем. Девять косинусов можно считать составляющими трех единичных векторов 
направленных но покоящимся осям, относительно осей, связанных с телом. Если мы обозначим прямоугольные координаты точки в покоящейся системе через 
а в системе, связанной с телом, — через 
то составляющие 
в покоящейся системе равны: 
а составляющие а относительно системы, связанной с телом: 
и аналогично для 
для с 
Так как между направляющими косинусами имеет место шесть соотношений:
то 
них только три независимы. Вместе с 
мы имеем, следовательно, шесть координат положепия: значит твердое тело есть система с шестью степенями свободы. Мы приходим, следовательно, к задаче выразить девять величин 
через три независимые величины таким образом, чтобы шесть соотношений между направляющими косинусами выполнялись тождественно. Это можно выполнить, вводя три "угла Эйлера" 
Положим
Эти выражения удовлетворяют уравнениям. Геометрическое значение 
глов 
легко попять, если выбрать начало неподвижной системы таким образом, чтобы оно совпадало с началом системы, связанной с телом. В таком случае плоскость 
и плоскость 
будут пересекаться по прямой, проходящей через начало координат и называемой "узловой линией". При этом 
есть угол, на который нужно повернуть вокруг узловой линии, как оси, неподвижную систему для того, чтобы кратчайшим путем привести в совпадение плоскость 
с плоскостью 
так, чтобы в общей теперь плоскости оси х и у были ориентированы одна по отношению к другой так же, как и оси 
Это вращение определяет некоторое направление на узловой линии. Мы назовем положительной стороной ту, с которой вращение на угол 
совершается в направлении часовой стрелки. Далее, 
есть угод, на который пужно повернуть тело около оси 
чтобы положительная ось х совпала с положительной узловой линией,
совершается но часовой стрелке. Наконец 
есть угол, на который нужно после 
повернуть тело около оси 
чтобы положительная половина узловой липии совпала с положительной осью 
причем опять вращение, рассматриваемое со стороны положительного направления 
происходит но часовой стрелке. Этими тремя вращениями оси 
действительно приводятся в совпадение с осями 
с сохранением взаимпого расположения. Доказательство того, что связь :этих трех углов с направляющими косинусами определяется уравнениями (2), основ и вается на рассмотрении сферических треугольников, определяемых точками пересечения осей с единичной сферой, описанной около начала координат.