§ 4. Задача Коши для упругого полупространства в двух измерениях
1. Постановка задачи. Формула Грина.
В теории интегрирования волнового уравнения:
где А заданная функция 
основной является так называемая задача Копта. Математически эта задача ставится как задача отыскания интеграла уравнения (1), удовлетворяющего так называемым начальным условиям:
К решению этой задачи мы и приступаем.
На предыдущих страницах мы встречались уже с так называеиой формулой Грина для двух решений волнового уравнения.
Пусть и непрерывное со вторыми производными решение уравнения:
а 
такое же решение уравнения:
Рассмотрим область В трехмерного пространства 
ограниченную поверхностью 
состоящей из конечного числа кусков, имеющих непрерывно меняющуюся касательную плоскость.
Тогда справедлива следующая формула:
где через 
обозначена операция:
а 
— направление внутренней нормали. В формуле (4) очевидно 
элемент поверхности в пространстве 
элемент объема этого пространства.
Формула (4) выведена в предположении, что 
, имеют непрерывные вторые производные. Однако, она сохраняет смысл, например, и в том предположении, что одно из этих решений 
является правильным разрывным решением. Докажем это. Пусть, для простоты, внутри объема В имеется одна поверхность разрыва 
которую мы обозначим 
. Выделяя эту поверхность разрыва двумя близкими параллельными поверхностями 
мы разобьем оставшийся объем на две части 
лежащие по разные стороны поверхности разрыва. Границей объема 
будет служить поверхность 
и часть 
поверхности S.
аналогично, будет 
и часть 
поверхности 
Применяя к каждому из этих объемов формулу (4), получим:
поверхности разрыва 
При этом сумма поверхностей 
будет стремиться к поверхности 
а сумма объемов 
к объему В. Интегралы по 
в пределе сократятся, так как пределы 
на поверхностях и 
в силу условий совместности, будут отличаться только знаком из-за перемены направления нормали. Окончательно мы будем иметь:
