7. Метод изображений.

Областью, для которой проще всего найти решение граничной задачи, является ограниченное бесконечной плоскостью полупространство.

Пусть в точке А верхнего полупространства находится источник интенсивности Поместим в точке А, являющейся зеркальным отражением точки А в нижнем полупространстве (рис. 29), источник интенсивности т. е. сток. Тогда потенциал скоростей соответствующего течения будет:

где расстояния от точки наблюдения до точек Полученное о есть функция Грина первого рода для верхнего полупространства с полюсом А. Действительно, обращается в нуль во всех точках граничной плоскостии удовлетворяет уравнению Лапласа во всем верхнем полупространстве за исключением точки точке А функция имеет полюс и стремится к бесковечности как

Если мы в точке А поместим не сток, а источник (рис. 30), интенсивности , то подучим величину

представляющую функцию Грина второго рода для верхнего полупространства с полюсом А. На граничной плоскости обращается в нуль. Функцию можно рассматривать как потевдиал скоростей потока, исходящего из источника в точке А и ограниченного плоской твердой стенкой.

Рис. 29.

Рис. 30.

Этот метод отражения может быть легко обобщен на случай любого дискретного или непрерывного распределения источников в верхнем полупространстве. Если при этом каждому источнику интенсивности в верхнем полупространстве сопоставить источник интенсивности или же являющийся его зеркальным отражением, то мы получаем движение, для которого граничная плоскость представляет в первом случае поверхность уровня потенциала а во втором случае — твердую стенку. Аналогичную картину мы имеем и для случая двойных и кратных источников, а также, с незначительными изменениями, и для вихрей.

Для шара метод изображений был развит В. Томсоном применившим его к решению первой граничной задачи, встретившейся при изучении одной электростатической задачи. Внутри (или вне) шара задано распределение электрических масс, а на поверхности шара потенциал 9 должен равняться нулю. Требуется определить функцию во всех точках внутри (или вне) шара. В гидродинамике это соответствует потоку, источники которого заданы внутри (или вне) шара, причем этот поток должен быть перепендикулярен поверхности шара. Решение задачи следующее: зеркальным изображением источника интенсивности находящегося на расстоянии а от центра шара радиуса является отрицательный источник (сток) интенсивности лежащий на продолжении радиуса-вектора источника, на расстоянии а от центра. Заданный источник и его изображение лежат в "сопряженных" точках, переходящих одна в другую при преобразовании обратных радиусов-векторов (рис. 31).

Более важное для гидродинамики решение второй граничной задачи несколько сложнее, так как при этом изображение точечного источника уже не

есть точка Поставим себе задачу найти ноток в пространстве, внешнем относительно шара, играющего роль твердой стенки, когда в этом внешнем пространстве задано распределение источников. В этом случае изображением источника интенсивности находящегося на расстоянии а от центра служит, во-первых, расположенный в сопряженной точке источник интенсивности во-вторых, равномерно распределенные на линии, соединяющей сопряженную точку с центром шара, стоки с линейной плотностью При этом полная интенсивность источников, находящихся внутри шара, равна нулю. Изображением двойного источника с моментом ось которого направлена по радиусу, является расположенный в сопряженной точке двойной источник, ось которого имеет противоположное нанравление, а момент равен

Рис. 32.

Рис. 31.

Если двойной источник во внешнем пространстве отодвигается на бесконечность, то течение, им вызываемое, обращается в поступательное равномерное и прямолинейное. При этом, изображение двойного источника стремится к центру шара. Потенциал скоростей такого иотока, обтекающего шар, радиуса В, не имеющего во внешнем пространстве особенных точек и обладающего на бесконечности скоростью в направлении оси х, будет

Исходя отсюда, легко исследовать равномерное и прямолинейное движение шара в жидкости, занимающей все пространство и неподвижной на бесконечности. Для этого достаточно сообщить всему полю вместе с шаром скорость с в направлении отрицательной оси х. Относительные линии тока, вызываемые в некоторый момент движущимся в жидкости шаром, совпадают вне шара с линиями токд двойного источника, лежащего в центре шара (рис. 32). 1

Метод изображений может быть применен и в случае областей, ограниченных двумя параллельными или пересекающимся плоскостями, или двумя сферами. При этом, однако, мы получаем два бесконечных ряда изображений Всякое вновь вводимое нами изображение удовлетворяет граничному условию на одной не поверхностей, но вато нарушает уже достигнутое выполнение граничного условия на второй из них. Введение поправки отражением полученного

изображения во второй поверхнооти дает добавочный член, нарушающий граничное условие на первой, и т. д. Этот процесс, сходимость которого может быть доказана, представляет собой геометрическую интерпретацию некоторых общих методов теории потенциала, примененных здесь к простейшим задачам.

В случае плоского потока метод изображения значительно упрощается. В первой граничной задаче изображением источника является источник равной (и противоположной по знаку) интенсивности, помещенный в сопряженной точке. Во второй граничной задаче изображением источника, лежащего вне круга, служит источник равной ему интенсивности, лежащий в сопряженной точке внутри круга, и сток такой же интенсивности, помещенный в центре круга. Изображением произвольным образом направленного двойного источника, является также двойной источник, направление и момент которого могут быть легко вычислены. Аналогично и для вихрей (см. ниже § 3, 16).

Рис. 33.

С методом изображений тесно связан один прием, состоящий в следующем. На поступательное движение жидкости налагают источники и стоки с общей интенсивностью нуль и располагают их таким образом, чтобы одна из поверхностей, образуемых линиями тока, была замкнутой и заключала все источники и стоки внутри себя. Область внутри этой поверхности можно представить себе занятой твердым телом, которое будет, таким образом, обтекаться стационарным и не имеющим особенных точек потоком жидкости, движение которой будет вполне известно. В простейшем случае мы можем взять источник и сток равной интенсивности; они еще не дают стационарного течения, а как бы движутся с постоянной скоростью в направлении соединяющей их прямой. Если теперь наложить на это течение равномерный поток, обладающий такой же, но противоположно еаправденной скоростью, то получается замкнутая поверхность тока, вид которой напоминает более или менее вытянутый эллипсоид вращения (рис. 33). В предельном случае, когда источник и сток бесконечно сближаются и образуют двойной источник, получается обтекание шара.

Неоднократно применялись также распределения конечного или бесконечно большого числа источников на прямой а). При наложении поступательного движения это дает замкнутые поверхности тока, пригодные для воспроизведения формы воздушного корабля.

Аналогично источникам для получения замкнутых поверхностей тока могут служить также замкнутые вихревые линии (см. ниже § 3,16).