4. Линейно-поляризованные поперечные волны.

Наряду с плоской задачей теории упругости рассмотрим еще одну вадачу, которая отличается большой простотой и представляет, как мы впоследствии увидим, значительный теоретический интерес.

Допустим, что в уравнениях теории упругости

составляющие массовых сил обращаются в нуль, а составляющая представляет собою функцию только от .

Рассмотрим такое решедйе этих уравнений, в котором обращаются в нуль, не зависит от

При этом два уравнения (26) будут удовлетворены тождественно, а третье приведется к виду:

то есть превратится в обычное волновое уравнение свободным членом в двух измерениях.

Подсчитаем, каковы будут составляющие тензора напряжений при таком движении.

Очевидно, мы будем иметь:

Решение рассмотренного типа мы будем называть линейно-поляризованной поперечной водной.

Линейно-поляризованные поперечные волны могут существовать не только в неограниченном пространстве. Они могут иметь место и в средах, ограниченных цилиндрическими поверхностями, с образующими, параллельными оси При этом мы получим, очевидно, задачу на интегрирование неоднородного волнового уравнения (27) в области двух переменных х, у.

Граничные условия будут, для закрепленной границы, иметь вид:

На свободной границе, очевидно поэтому из составляющих вектора напряжения по нормали к площадке границы не будет тождественно равно нулю только

Поэтому условие на свободной границе будет:

Мы видим, таким образом, что задача о линейно-поляризованной волне привелась к интегрированию уравнения, которое мы в предыдущей главе получили для колебания мембраны с теми же граничными условиями.