§ 2. Приложение интегральных уравнений к задаче колебания

1. Вывод интегрального уравнения.

Перейдем теперь к изложению метода интегральных уравнений, который мы можем рассматривать как обобщение метода разложения в ряд по частным решениям.

Мы изложим этот метод в применении к колеблющейся струне с закрепленными концами. Прежде всего мы можем отбросить условие постоянства плотности струны.

Мы будем исходить из случая статической нагрузки. Пусть на элемент длины струны действует нагрузка есть нагрузка на единицу длины). Если есть прогиб струны под влиянием этой нагрузки, то условие равновесия элемента требует, чтобы

где натяжение струны. Действительно, силы, действующие на концы элемента и происходящие от натяжения струны, направлены по касательным к струне: проекция на ось у силы, действующей на левый конец, равна — а проекция силы, действующей на правый конец, равна значит проекция их равнодействующей есть Написав, что силы, происходящие от натяжения, уравновешивают нагрузку получаем уравнение (1).

Заметим прежде всего, что вследствие линейности дифференциального уравнения и однородности граничных условий при при наложении различных прикладываемых нагрузок складываются также

соответствующие им прогибы. Если нагрузки вызывают соответственно смещения то нагрузка вызывает прогиб (принцип наложения).

Единичная сила. Если в точке действует сосредоточенная единичная сила (груз то деформированная струна состоит из двух прямолинейных отрезков: от до

а от до

Из условия равновесия следует

откуда получаем:

Это уравнение дает нам деформацию:

Мы обозначаем прогиб через для того чтобы указать зависимость его от точки приложения груза. Если в точке 5 действует не груз, равный единице, а груз то соответствующий прогиб в точке х в раз больше и равен

Если в точках приложены соответственно грузы то соответствующие прогибы складываются и мы получаем

Если мы имеем непрерывно распределенную нагрузку, такую, что на элемент действует сила то эта сумма переходит в интеграл

В том, что (7) есть действительно решение нашего дифференциального уравнения (1), можно убедиться непосредственным дифференцированием. Имеем

Откуда

В первом интеграле

Во втором интеграле

и значит

Дифференцируя еще раз, получаем

Существенным свойством функции является ее симметрия относительно х и Е:

Это значит, что единичный груз, приложенный к точке вызывает в точке х такую же деформацию, какая была бы в точке если бы этот единичный груз был приложен в точке х. Для доказательства положим сначала тогда

Полагая далее получаем

и следовательно,

что и требовалось доказать.

Интегральное уравнение движения струны мы получаем, применяя принцип Даламбера. Последний утверждает, что если к внешним силам, действующим на струну, добавить силы инерции, то в каждый данный момент все эти силы будут уравновешиваться.

Начнем с того, что будем искать периодические относительно времени решения вида

Элемент длины имеет массу есть масса на единицу длины в точке и его ускорение

Сила инерции, следовательно, равна

или, на единицу длины,

Эту силу инерции и следует подставить вместо нагрузки в уравнение равновесия (7)

Множитель справа и слева сокращается и для получается линейное однородное интегральное уравнение

Если масса в различных местах струны неодинакова, то ядро этого интегрального уравнения несимметрично. Однако можно получить интегральное уравнение с симметричным ядром, если обе части уравнения (12) умножить на всегда допустимо, так как у. положительно. Полагая

получаем для функции интегральное уравнение

ядро которого

симметрично. Из общей теории интегральных уравненийизвестно, что это интегральное уравнение имеет решение не при всяких значениях а только при таких, которые совпадают с характеристическими числами ядра Струна, следовательно, может совершать периодические колебания не с любой частотой, а с частотами, равными корням квадратным из характеристических чисел.

Возможные частоты колебаний образуют [дискретный ряд чисел, нигде на конечном расстоянии не сгущающийся. Располагая по возрастающей величине, мы будем обозначать их через Соответствующие фундаментальные функции и т. д. симметризированного уравнения и функции дающие амплитуды колебаний точек струны, определяются лишь с точностью до некоторого постоянного множителя. Этот множитель мы будем брать таким, чтобы

Две фундаментальные функции, соответствующие различным характеристическим числам (частотам), взаимно ортогональны, т. е. при

Если некоторому характеристическому числу соответствует несколько фундаментальных функций и т. д., то образованные из них линейные

комбинации с постоянными коэффициентами суть также фундаментальные функции этого характеристического числа. Коэффициенты с можно подобрать таким образом, чтобы условия ортогональности (17) и нормальности (16) выполнялись также и в этом случае.