§ 2. Сходящиеся и полусходящиеся разложения разветвленных решений.

Найденные в предыдущих параграфах комплексные интегралы можно выражать приближенно двумя способами: сходящимися рядами, которые непрактичны, и расходящимися (полусходящимися) рядами, которые окажутся очень полезными. Причина такого необычного поведения обоих рядов заключается в малости длины волны: так как, из соображений размерности, наши решения могут зависеть только от отношения или, что то же самое, от произведения нас интересуют практически только разложения вблизи существенно особой точки где не существует никаких сходящихся рядов, тогда как сходящиеся ряды около точки могут претендовать только на теоретический интерес.

1. Подготовительные замечания о функциях Бесселя.

Мы будем исходить из уравнения (8), § 1, которое при произвольном выборе А представляет решение волнового уравнения, и положим в нем

понимая под произвольное (рациональное или иррациональное, положительное или отрицательное) число.

Вводя в качестве переменной интегрирования получим:

есть наиболее общая "цилиндрическая" функция от аргумента порядка Она удовлетворяет дифференциальному уравнению Бесселя, которое, если итти по нашему пути, получается следующим образом. Выражение (1) есть решение волнового уравнения, написанного в полярных координатах

Вследствие этого мы имеем для

положив еще мы можем написать

Мы получим различные решения дифференциального уравнения Бесселя, если будем выбирать различными способами путь интегрирования в (1). Для ориентировки заметим: в исходной формуле (8), § 1, путь интегрирования для х мог быть выбран произвольно. При подстановке он вообще зависел бы от . Поэтому, если должно быть функцией от одного путь интегрировании

в (8), § 1, а потому также и в (1), должен уходить на бесконечность. На рис. 94, показаны, как и на рис. 92, те области (заштрихованные), где имеет при комплексном (5 отрицательную вещественную часть, т. е. в которых интеграл сходится на бесконечности. Прямые границы между этими областями нанесены для вещественных (для комплексных границы деформируются). Мы можем теперь брать интеграл, начиная на бесконечности в каждой из этих областей, до бесконечности в каждой другой области. Однако только два из этих интегралов линейно независимы. Все остальные составляются из них линейно с постоянными коэффициентами еппр целое). В качестве двух независимых интегралов мы возьмем:

Рис. 95.

Рис. 94.

Пределы интегрирования указывают на бесконечность в заштрихованных областях I, II, III. Пути интегрирования для из соображений, которые будут ясны позже, проведены через точки и именно под углом 45° к вещественной оси но, конечно, их можно произвольно деформировать. В частности, видно, что последовательное прохождение путей, соответствующих эквивалентно прямому переходу из Мы определим:

и представим соответствующий путь еще раз на черт. 95 (верхняя половина). суть так называемые функции Ганкеля, -функция Бесселя в узком смысле. Первые делаются бесконечными при вторая остается конечной для

В самом деле, поведение всех трех функций при определяется выражением:

взятом на соответствующих пределах, откуда непосредственно следует, что эти функции обращаются в бесконечность на границе и остаются конечными на

границах При целом путь можно, как показано пунктиром на рис. 95, свести к отрезку вещественной оси, длины так как оба участка, параллельные мнимой оси, взаимно уничтожаются. Тогда можно написать (изменив несущественным образом пределы интегрирования):

и притти к первоначальному выражению Бесселя для целого порядка Наша формула (4) является естественным обобщением (5) для произвольного порядка. Из уравнения (5) видно, почему мы выбрали именно такой способ нормировки: вследствие множителя будет вследствие множителя функция будет вещественной при вещественных Если заменить в (4) на то получится:

Путь интегрирования указан на нижней половине рис. 95.

можно разложить в следующий ряд (который, конечно, получается и из нашего интеграла):

Таким образом, при положительном обращается в нуль как

Исследование поведения и при можно найти в известных курсах теории Бесселевых функций. В частности, для в окрестности будет

При произвольном имеют место равенства:

что легко видеть, Заменив в на

Упомянем еще так называемые соотношения обхода функций Ганкеля. Эти соотношения, с нашей точки зрения, т. е. исходя из уравнений (3) для выводятся следующим образом: вместо подставим и заставим непрерывно меняться от до где какое-нибудь положительное или отрицательное целое число. При этом заштрихованные области на рис. 94, а с ними и пути интегрирования и перемещаются с непрерывным

образом. Составляя смещенные пути интегрирования из первоначальных, мы получим линейные соотношения между значениями и для аргумента ретт и значениями для аргумента В частности, при и при произвольном оказывается:

причем второе равенство получается из первого перестановкой Например, для будет:

Для приложений особенно важно поведение при больших тогда исчезает во всех точках заштрихованных на рис. 94 областей и делается бесконечно большим во всех точках незаштрихованных областей считается вещественным). Путь интегрирования для начинается с исчезающих значений в I, переходит через "перевал" в где справа и слева подинтегральная функция быстро возрастает и спускается в опять к исчезающим значениям. То же самое будет иметь место и для с перевалом в Заметные значения для интеграла дают только непосредственные окрестности перевала. Точки перевалов мы будем называть еще "седловыми точками", имея в виду поведение подинтегральной функции в окрестностях перевала.

При этом мы будем сходить с перевала в направлении наиболее быстрого спадания (англ. steepest descent, крутейший склон) абсолютного значения показательной функции и подниматься на перевал по направлению наиболее быстрого возрастания, чтобы как можно скорее попасть в область малых значений функции или возможно дольше оставаться в такой области. В нашем случае это значит, что мы должны переходить через оба перевала в направлении 45° к вещественной оси, как показано на рис. 94, т. е. мы должны держаться на одинаковом расстоянии от высот справа и слева.

Общее правило, которое приводит к такому выбору пути интегрирования, по Дебаю, таково. Разложим функцию (в нашем случае на которую умножен обращающийся в бесконечность параметр (здесь на вещественную и мнимую части Абсолютная величина показательной функции будет Пусть будет направление наиболее быстрого изменения и, в котором мы должны интегрировать, перпендикулярное направление. Тогда и по условиям Коши-Римана также т. е. путь интегрирования следует определить уравнением где значение в седловой точке. В нашем случае это дает для следующее: седловая точка в седловой точке вблизи нее положим тогда уравнение требует, чтобы т. е. ведет от седловой точки в незапгтрихованную область Вещественная часть будет далее интегрирование

нужно распространять на окрестности седловой точки, например, от до где произвольно мало и не зависит от

Стоящую в (3) показательную функцию, которая не содержит можно считать медленно меняющейся и заменить ее значением в седловой точке. Выражение для в (3) переходит в

После подстановки пределы интегрирования делаются для равным и сам интеграл равным Применив этот способ к получим асимптотические выражения:

На этом простом асимптотическом поведении в основано особое значение функций Ганкеля для приложений.

При более точном приближении (вводя переменную интегрирования и разлагая по ней выражение мы получим для полусходящиеся ряды, расположенные по отрицательным степеням первые члены которых, представляют выражения (8).

Особенное преимущество этого "метода перевала" или "метода седловой точки" заключается в том, что он свободен от всяких формальных вычислений, так что сложность интегралов никоим образом не ограничивает эффективности метода. Это выяснится в 3.

Из (8) следует, согласно

Три формулы (8) и (8а) представляют точный двухмерный аналог различных типов одномерных колебаний экспоненциального характера (плоские волны). Мы можем сопоставить:

Введенная здесь Бесселева функция второго рода или функция Неймана определяется следующим уравнением, аналогичным уравнению (4),

Формулы (8) останется в силе и для комплексного аргумента, еоли разрезать плоскость вдоль отрицательной (для ) или положительной (для )

мнимой оси При полном обходе вокруг нуля выражение (8) изменяется по соотношениям обхода Здесь можно говорить о главной ветви функций Ганкеля, подобно тому как принято говорить о главной ветви логарифма. Положим Тогда главная ветвь охватывает область . Главная ветвь исчезает на бесконечность во всей положительно мнимой полуплоскости, в отрицательно мнимой полуплоскости, Напротив, исчезает на бесконечность только по вещественной оси и безгранично возрастает на бесконечность, как в положительно, так и в отрицательно мнимой полуплоскости.

По сказанному об области применимости формул (8), формула (8а) применима только в области

Как следствие (4) и (8), отметим еще важное соотношение:

для всех комплексных бесконечно возрастающих с положительной мнимой частью.

Полное полусходящееся разложение первой функции Ганкеля гласит:

Такая же формула существует и для второй функции Ганкеля она получится из если там везде (но не в аргументе заменить на

Уравнение показывает, что при полуцелом порядке ряд обрывается на члене, т. е. тогда

есть целая функция степени от Такие "полуцелые" Ганкелевы и соответствующие Бесселевы функции играют в оптике особую роль во всех задачах с шаровой симметрией (ср. § 4 и гл. ХХIII, § 4). Так как целая функция степени имеет в Комплексной плоскости корней, то функция при имеет ровно корней. Общее правило для произвольного ясно из рис. 96: отложим для каждой из абсцисс число корней как ординату и

проведем через концы этих ординат попеременно вертикальные и горизонтальные прямые. Получающаяся лестница с длиной и высотой ступеней, равной 2, и дает число корней главной ветви при произвольном Соответствующие корни лежат: для в отрицательной мнимой полуплоскости, для положительной. Действительно, можно легко доказать с помощью теоремы Грина, что не имеет корней в положительно мнимой, в отрицательно мнимой полуплоскости. При этом предполагается вещественным.

При выводе формул (8) и считалась медленно меняющейся функцией. Это допустимо только до тех пор, пока Противоположный случай или рассмотрен Дебаем по методу седловой точки. При этом нужно заново установить положение седловой точки и ход перевала.

Рис. 96.

В важном значении приближений Дебая для оптических целей нам придется неоднократно убеждаться в дальнейшем. Они осуществляют, вообще говоря, переход от волновой к лучевой оптике.