5. Колебания стержня.

Теория интегральных уравнений может быть применена к изучению колебания стержней буквально в той же форме, в какой мы ее применяли при исследовании движения струны.

Рассмотрим стержень длины I, каким-либо образом закрепленный: либо подпертый на обоих концах, либо заделанный одним концом, либо шарнирно закрепленный обойми концами.

Пусть опять обозначает прогиб в точке х, вызванный единичной силой, приложенной в точке Отметим прежде всего, что и в рассматриваемом случае обладает свойством симметрии: как в этом можно убедиться из следующего рассуждения, основанного на рассмотрении энергии. Энергия деформации, заключенной в стержне, равна работе внешних сил, произведенной в процессе деформации. Если в точке х стержня мы приложим силу а в точке силу (речь идет о сосредоточенных силах), то они вызовут:

При увеличении на

а энергия деформации увеличивается на величину, равную работе, произведенной внешними силами при этой дополнительной деформации. Значит приращение А энергии деформации равно

Следовательно

и

т. е.

Начиная с этого места, вывод интегрального уравнения и следствий, которые можно вывести из него, точно такие, как в случае Колебания струны.

В связи с исследованием дифференциального уравнения колебания струны упомянем еще общий метод интегрирования уравнений подобного типа, принадлежащий Риману и имеющий огромное значение. С этим методом можно ознакомиться например по книге Э. Гурса, Курс анализа, т. III.