2. Системы однозначных интегралов; импримитивные системы.

Обозначим теперь координат -мерного фазового пространства для простоты через Пусть

где , представляет собой систему независящих от времени интегралов уравнений движения Гамильтона [см. § 2, (62)]. Если можно решить уравнения (3) относительно переменных, например так, чтобы каждой определенной системе значений соответствовали определенные значения или конечное число "изолированных" систем значений то говорят, что уравнение (3) можно решить однозначно или конечно-многозначно относительно Для краткости мы условимся так же, как в 1, применять всегда выражение однозначно. Если среди величин имеется таких переменных, относительно которых уравнение (3) можно решить однозначно, то (3) называется "системой однозначных интегралов". Если такого решения не существует ни для одной системы из величин, выбранных из переменных, то (3) называют системой неоднозначных интегралов.

С помощью системы однозначных интегралов при определенных значениях постоянных интегрирования определяется, согласно рассуждениям 1, (2» — -мерное подпространство -мерного фазового пространства, в котором находится фазовая кривая.

Если к интегралам (3) добавить еще один интеграл образующий вместе с (3) систему из однозначных интегралов, то при определенном выборе сто вид фазовой кривой можно определить более точно; при этом мы получим -мерное подпространство, в котором расположена кривая. Однако, если не существует интеграла, который вместе с (3) мог бы образовать систему из однозначных интегралов или, другими словами, если не существует системы, содержащей более однозначных интегралов, то добавление к (3) нового интеграла, даже при определенном выборе постоянных интегрирования так же, как в не будет ограничивать ход фазовой кривой. Если -мерное подпространство, определяемое (3), при определенном выборе значений конечно, как и в примере с осциллятором, рассмотренным в 1, то оно будет целиком заполняться всякой фазовой кривой, если только первые постоянные соответствуют этому подпространству, каковы бы ни были остальные постоянные сто необходимые для определения фазовой кривой, согласно § 2, (62).

Если мы ранее говорили, что определенную фазовую кривую можно задать при помощи интегралов вместе с их постоянными интегрирования, то теперь, на основании 1, мы должны сказать, что для определения фазовой кривой имеют физическое значение только однозначные интегралы. Задание таких интегралов определяет фазовых кривых, которые заполняют одно и то же -мерное фазовое пространство. Только задание однозначных интегралов действительно определяет с физической точки зрения одну одномерную фазовую кривую.

Следуя Леви-Чивита, можно назвать механическую систему, содержащую не более чем однозначных интегралов, -кратно импримитивной" системой. В такой системе постоянных интегрирования определяют -мерные подпространства, заполняемые "фазовой кривой". Система, в которой фазовая кривая действительно может быть установлена "физически", является,

следовательно, -кратно импримитивной". Другим крайним случаем является "однократно им примитивная" система, имеющая только один однозначный интеграл.

Энергия представляет собою интеграл для всякой механической системы. Поэтому, на основании § 2 (53), мы получим:

Но это выражение несомненно является однозначным интегралом, так как его можно однозначно решить (в данном случае — двузначно) относительно каждого Таким образом, единственным однозначным интегралом для однократно импримитивной системы является энергия (4). Каждая фаговая кривая, соответствующая значению постоянной целиком "заполняет" -мерную поверхность энергии (4). Такого рода механическую систему обычно называют квазиэргодической.

Рассмотрим исследованные в § 5 механические системы, которые можно интегрировать при помощи разделения переменных. Если взять систему Штеккеля § 5, (8), то во всяком случае существуют однозначных интегралов или (12), с постоянными интегрирования

В качестве примера можно указать на осциллятор, рассмотренный нами в § 5,1. Если эти интегралов — единственные однозначные интегралы, то мы будем иметь -кратно импримитивную систему.

Если кроме того совокупность постоянных [или согласно или выделяет -мерное подпространство -мерного фазового пространства, как в случае -кратно периодической системы, исследованной в § 5 и § 6, то всякая фаговая кривая, для которой и постоянных совпадают с гаданными гначениями целиком "заполняет" определяемый ими -мерный объем подпространства.