§ 3. Теорема взаимности в беспроволочной телеграфии

Теоремы взаимности хорошо известны в теории потенциала (теорема о перестановке источника и точки наблюдения для функции Грина), далее в акустике [теория Гельмгольца (Helmholtz) для закрытых и открытых труб] и в технической теории упругости (теорема Максвелла о взаимности смещений в ферме). В оптике известна теорема Гельмгольца об обратимости пути света.

В беспроволочной телеграфии существует следующая теорема взаимности: Пусть антенна излучает волны в точке и пусть их принимает в точке Произвольно направленная антенна пусть, с другой стороны, излучает волны той же самой частоты и энергии, что раньше и пусть их принимает тогда принимаемое поле в А будет то же, что раньше в независимо от электромагнитных свойств промежуточной среды (вода или земля, или то и другое, слоистая или неоднородная атмосфера, более или менее ионизованная и т. д.) и независимо от формы антенн. При доказательстве мы будем придерживаться старой работы Лоренца (Н. A. Lorentz) об электромагннчных колебаниях, в которой, впрочем, вопросы беспроволочной телеграфии, конечно, не рассматриваются.

1. Общее обоснование по Лоренцу.

Пусть электромагнитное поле первого процесса (излучатель задано уравнениями (1), поле второго процесса (излучатель уравнениями выписанными ниже. Пусть С будет полный ток, т. е. сумма тока смещения и тока проводимости Обозначения и единицы здесь те же, что в уравнениях (I) и (II) стр. 808:

Умножим эти уравнения скалярно на написанные справа от них векторы так же, как мы это делали при выводе теоремы Пойнтинга (стр. 810), но возьмем теперь векторы не того же самого, а другого процесса, с накрест-измененными знаками. Складывая полученные результаты, напишем:

Это следствие, как и основные уравнения (1) и (2), справедливо во всем бесконечном пространстве, независимо от возможно имеющихся там разрывов или неоднородностей для электромагнитных констант, т. е. также и на поверхности раздела земля — воздух, земля — вода и т. д. Ведь и обыкновенные граничные условия выводятся как раз так, что (взяв сначала непрерывные переходные слои) считают основные уравнения годными везде, без исключения. При применении уравнения (3) (ср. конец этого пункта) нужно только исключить сами источники (антенны), поскольку, для упрощения расчета, мы берем там бесконечно большие поля.

Правую часть (3) преобразуем по теореме

Тогда из (3) получается:

Предположим теперь, что оба процесса представляют монохроматические колебания одинаковой частоты, и представим их в виде (ср. стр. 811):

Эти комплексные выражения удовлетворяют основным уравнениям, так же как их вещественные части, вектора поля. Поэтому уравнение (4) остается справедливым, если в него подставить вместо вектора поля величины (5). Этот способ был бы недопустим, если бы мы хотели сделать заключение об энергии или потоке энергии действительного физического процесса, так как эти величины нужно составить из вещественных векторов поля, а не из их комплексных выражений (ср. стр. 813). Но этот способ является законным, если дело идет об аналитических соотношениях между комплексными векторами определенными уравнениями (5).

Предположим далее, что между существуют обычные линейные зависимости стр. 808, причем можно считать о меняющимися от точки к точке. Эти зависимости переносятся на комплексные выражения (5) и дают для них:

Если мы теперь подставим (6) в (4), то первые два члена слева сократятся с последними двумя, и, отбросив общий множитель мы получим уравнение:

Это уравнение справедливо везде, где вектора непрерывны и допускают дифференцирования, нужные для образования расходимости в (7).

Так как далее мы будем рассматривать антенны как простые диполи, т. е. будем считать в поля бесконечными, мы должны исключить точки Поэтому построим около этих точек два шара с поверхностями и Затем ограничим пространство на бесконечности шаром К. Проинтегрируем (7) по всему «стальному пространству и применим теорему Гаусса. Так как в пределе интегралы по К исчезают в обеих частях равенства, то это дает