3. Вырождение.

Если бы сумма (9) состояла только из одного единственного периодического члена, то она представляла бы собой одно гармоническое колебание с частотой [см. § 5, (23)]. Но в каждом члене частоты складываются из целых кратных величин Поэтому величин определяемые формулами (8), называются «основными частотами многократно периодического движения. Если между ними нет никаких линейных однородных соотношений с целыми коэффициентами, то их называют независимыми частотами, а система называется невырожденной, -кратно периодической системой. Если мы примем, что между величинам имеется таких соотношений:

то их можно рассматривать, как линейных однородных уравнений между величинами Согласно теории линейных уравнений, все решения можно составить линейным и однородным образом из величин, причем, вследствие целочисленности величин коэффициенты будут тоже целочисленны, иначе говоря, существуют величин таких, что

причем представляют собой также целые числа.

Если подставить (11) в (9), то представятся как суммы периодических функций от времени с частотами, представляющимися линейными, однородными функциями с целыми коэффициентами от основных частот В этом случае систему называют -кратно вырожденной или -кратно периодической. Крайний случай будет тогда, когда В этом случае система оказывается просто периодической. В таком случае величины представляют собой целые кратные одной единственной основной частоты

Вместо легко могут быть введены посредством касательного преобразования новые угловые переменные. Положим;

где целые числа и определитель, составленный из величин имеет значение Решая эти уравнения, мы получим величины как линейные однородные функции величин с целочисленными коэффициентами, и подставляя в формулу (7), мы увидим, что зависимость от имеет тот же вид, что и

от Для того чтобы преобразование было касательным, величины должны быть такими линейными однородными функциями чтобы, согласно § 4, (25):

Из (13) и (12) вытекает:

Если положить:

то

Следовательно, в качестве основных частот можно выбрать любые линейные однородные функции старых с целочисленными коэффициентами, определитель которых равен Если теперь система вырождена, т. е. если между величинами имеется соотношений (10), то величины в преобразовании (14) можно выбрать так, чтобы они соответствовали в первых то уравнениях величинам уравнений (10). Но тогда из (14) и (10) вытекает, что и только основных частот отличны от нуля. Отсюда однако вытекает, что величины не входят в выражение

Следовательно, если система -кратно вырождена, то всегда можно ввести такие угловые переменные и переменные действия, которые распадаются на две группы: 1) "несобственных" угловых переменных таких, что соответствующие им переменные действия не входят в эти остаются постоянными во время движения, 2) "собственных" угловых переменных таких, что только переменные действия соответствующие им, входят в эти представляют собой линейные функции времени. В таком случае решения § 5 (40) имеют вид:

Если вместо ввести их значения из (15) в (7), то мы получим, обозначая опять просто через

В эти выражения входят только "основных частот"; функция несобственных «гловых переменных появляется попросту как фазовая постоянная.