5. Свойства периодичности разделяющихся переменных.

Чтобы получить изменение координат положения со временем, необходимо исследовать, как они зависят от Связь между ними определяется касательным преобразованием § 4 (29), где значение нужно взять из § 5 (3). Для одного важного класса механических систем об этом можно высказать кое-что общее. Будем исходить из разобранного в 2 случая Штеккеля. И в § 4 (29), (35) и § 5 (15), (16) следует:

Предположим теперь, что функции имеют по два простых корня между которыми нет других корней; далее пусть в этом промежутке не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность. Если мы в обеих частях уравнений (1) перейдем к дифференциалам и решим полученные таким образом уравнения относительно то мы получим уравнения вида:

Если не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность, то не могут в рассматриваемом промежутке менять свой знак. Система будет все больше приближаться к положениям, определенным границами промежутка. Если бы система имела только одну степень свободы, то уравнения (30) свелись бы к одному единственному уравнению, в котором мы опускаем значок для координаты:

и которое имеет вид уравнении, изученных в § 3 (14). Вследствие однократности корней движение системы на границах меняет направление, и поэтому между обоими граничными положениями оно будет Периодическим. С помощью соображений, аналогичных примененным в § 3, на которых мы однако здесь не остановимся, можно вывести из (30), что каждое приближающееся к простому корню функции достигает его за конечное время, поворачивает там обратно и стремится к другому корню, о котором можно сказать то же самое. Каждое колеблется, следовательно, периодически между значениями Необходимо однако иметь в виду, что положение, определенное системой значений , не должно быть точкой поворота системы в смысле § 3.

Действительно, там в точке поворота все одновременно меняли направление и система проходила в обратном направлении через те же положения, тогда как здесь каждое в свое особое время достигает граничного положения или и здесь поворачивает обратно.

Если некоторое определенное изменяется между граничными значениями, тогда как все остальные остаются неизменными, то в сумме (30) справа меняется только член с так как на основании линейно и однородно относительно то при повороте на границе квадратный корень меняет знак. Следовательно, при возрастании от до необходимо брать квадратный корень о положительным знаком, а при обратном изменении до с отрицательным. Но так как при возрастании величина положительна, а при убывании — отрицательна, то интеграл на обоих путях имеет одинаковое значение, которое мы обозначим Следовательно, интеграл, взятый по всем значениям пройденным в прямом и обратном направлениях, который мы обозначим через имеет значение:

Если система не принадлежит к типу Штеккёля, но все же обладает тем свойством, что при движении каждое может испытывать только определенный цикл изменений, то вместо уравнений (30), в силу (4), имеют место общие уравнения:

При полном обходе всех значений если при этом остальные остаются неизменными, изменяется на:

Если делает несколько обходов, например следовательно, в конце концов опять принимает начальное значение, то очевидно изменяется на а если при этом делают соответственно обходов, то на Но это означает, что остаются неизменными при изменениях на эти величины. Если, следовательно, мы решим уравнения - касательных преобразований относительно и будем рассматривать их как функции от то эти функции обладают свойством

для всех значений и произвольных целых чисел При этом величины определяются равенствами (31) и (35). Такая слстема, у которой координаты положения как функции "соответствующих" системе канонических координат обладают свойством (34), называется -кратно периодической системой.