6. Интегралы уравнений движения Гамильтона.

Уравнения (52) образуют систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных На основании общих теорем об интегрировании такой системы, всегда существуют функций переменной и произвольных постоянных, удовлетворяющих этим дифференциальным уравнениям. Эти функции мы будем называть решениями системы (52). Если не содержит времени явно, то входит в уравнения только в виде дифференциала Тогда одна из постоянных связана с аддитивно. Поэтому решения имеют вид:

где означают произвольных постоянных интегрирования.

Под интегралом системы (52) подразумевают такую функцию времени переменных из которой при подстановке решений время а поэтому также и постоянная выпадает, причем эта функция переходит в функцию величин Поэтому такой интеграл должен удовлетворять тождеству:

если вместо вставить решения (58). Из (59) при посредстве (52) следует:

где символ означает скобки Пуассона:

Интегралы представляют собой таким образом также интегралы линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка в частных производных (60) независимыми переменными теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение (60) имеет различных (независимых) интегралов, через которые можно выразить все остальные. Так как они совпадают с интегралами системы (52), то их можно получить, решая уравнения (58) относительно постоянных в форме:

Из числа этих интегралов время не входит в . Каждый интеграл уравнения (60) может быть представлен как функция интегралов интеграл не зависит от времени, то и уравнение (60) нриобретает форму:

Это уравнение имеет различных интегралов, которые все не содержат времени и в качестве которых мы можем принять функции входящие в уравнения (62). Каждый интеграл, не содержащий времени, может, следовательно, быть представлен как функция этих интегралов.

В частности, если само не зависит от то, очевидно, оно является интегралом уравнения (63) и, следовательно, может быть представлено как функция

Так как, согласно уравнениям (53), величина в обычных механических «адачах представляет собой энергию, то энергию системы можно выразить в функции от постоянных интегрирования

Если являются интегралами уравнения (63), то можно показать, что скобки Пуассона также представляют собой интеграл уравнения (63). Действительно, если означают три произвольные функции то между скобками Пуассона имеет место тождество Якоб и:

которое легко проверить, вставляя выражения (61) скобок Пуассона. Если по предположению и то из (64) вытекает, что является также интегралом уравнения (63). Следовательно, если интегралы дифференциальных уравнений механики (52), притом такие, что в не входит время, то из них, образуя скобки Пуассона, можно получить третий интеграл. Это предложение называется обычно теоремой Пуассона и имеет место также и в том случае, когда содержат время, чего мы однако здесь не будем доказывать.

Так как мы и без того знаем, что каждая функция величин представляет собой интеграл уравнения (63), то теорема Пуассона только в том "случае дает "новый" интеграл, когда нельзя представить как функцию от

Если у нас имеется различных интегралов (63): из которых помощью теоремы Пуассона нельзя получить никаких новых интегралов, т. е. вели для любой пары функций имеет место соотношение:

то мы говорим, следуя С. Ли, что функций образуют "группу функций". К этой группе в таком случае причисляются также и все функции величин Бели мы рассмотрим независимых функций величин например то эти последние очевидно тоже образуют -членную группу функций. Действительно, определения скобок Пуассона легко вывести, что

Здесь означает функциональный определитель . В силу групповых свойств величин скобки Пуассона, на основании (65), представляют собой функции следовательно, также и то же имеет место и для функциональных определителей уже на том основании, что являются функциями величин Следовательно, также могут быть выражены через В этом случае говорят, что они определяют ту же группу, что и но в другой форме.

Если в частности функции в уравнении (65) тождественно обращаются в нуль, т. е. если для любых двух функций группы тождественно равны нулю, то образуют "систему в инволюции".

Согласно уравнению (66), любая другая форма группы представляет в этом случае также систему в нйволюции, так как из обращения в нуль скобок вытекает также равенство нулю выражений

Интеграл энергии образует, согласно уравнению (63), с каждым не зависящим от времени интегралом систему в инволюции.

Рассмотрим систему в инволюции состоящую из интегралов, и предположим, что выписанных уравнений могут быть разрешены относительно Пусть их решения имеют вид:

Тогда можно показать, что функции переменных также образуют систему в инволюции. Доказательство можно получить путем непосредственного вычисления: из уравнений после дифференцирования вытекает:

Иа этих уравнений можно определить величин:

как линейные функции величин Поэтому, согласно определению (61), скобки Пуассона можно представить как квадратичные формы тех же величин,

После вычисления мы получим для коэффициентов значения:

Если, с другой стороны, вычислить выражения непосредственно с помощью формулы (61), то мы получим:

так как зависят только от Если скобки обращаются в нуль, то из (68) и (70) вытекает система линейных однородных уравнений относительно неизвестных величин:

причем имеет определенное значение. Так как определитель, образованный коэффициентов системы, есть функциональный определитель величин по который, согласно предположению о разрешимости уравнений не может обращаться в нуль, то все неизвестных должны быть равны нулю. Повторение этого же рассуждения приводит к заключению о равенстве нулю самих скобок что и требовалось доказать.

В частности, если система в инволюции состоит из членов, то функции в уравнениях (67), получающиеся при решении, совсем не содержат и мы получим, согласно (69), для скобок Пуассона (70) выражение:

Если, следовательно, представляет -членную систему в инволюции, то выражения получающиеся при их решении, образуют коэффициенты полного дифференциала:

где есть функция от