16. Вихревые точки в ограниченной области.

Если мы имеем несколько вихревых точек в ограниченной области, то вызываемый ими поток не будет, вообще говоря, иметь на границе касательное к ней направление. К вызванному вихрями движению жидкости следует добавить течение, зависящее от формы границы и от расположения вихревых точек; этот дополнительный поток обладает внутри области потенциалом скоростей и для определения его необходимо решить граничную задачу второго рода. Уравнения движения вихревых точек легко получаются и в этом случае; однако, интегралы Кирхгофа уже не будут теперь справедливы.

Во многих случаях задача упрощается при применении принципа отражений или метода изображений. Например, одиночный вихрь в одном из квадрантов плоскости будет описывать гиперболу четвертого порядка, в

прямолинейном канале он будет двигаться по прямой, параллельной стенкам канала; в круге будет описывать круговые орбиты. Движение одиночного вихря в прямоугольнике определяется эллиптическими функциями. Движение вихря в плоскости с прямолинейным разрезом может быть сведено к движению вихревой пары, причем второй вихрь помещается на втором листе двулистной Римановой поверхности. В этом случае траекторией вихря при движении вокруг оси прямоугольного препятствия конечной длины будет эллипс: при движении вокруг препятствия, уходящего на бесконечность, траекторией будет парабола, а при движении сквозь щель в стене, уходящей в обе стороны на бесконечность, траекторией будет гипербола. При наложении на это движение потенциального потока, который в первом листе либо вовсе не имеет особенных точек, либо, по крайней мере, не имеет их на конечном расстоянии, не получается никаких новых усложнений принципиального характера. Таким путем может быть разобрано большое число интересных движений. На рис. 42 изображены в качестве примера поле тока и траектории одиночного вихря в плоскости, которая разрезана вдоль полупрямой, уходящей на бесконечность. На рис. 42а на поток, вызванный самим вихрем, не наложено никакого другого движения в разрезанной плоскости. На рис. 42b и 42с на этот же поток наложено потенциальное движение, линия тока которого образуют систему конфокальных парабол, имеющих осью нашу полупрямую, а эквипотенциальные линии суть ортогональные к ним параболы. На рис. направление параболического потока одинаково с направлением собственного движения вихря, а на рис. 42с противоположно последнему.

Если применить К полю тока, вызванному отдельными вихревыми точками, метод конформного отображения (вихревые точки, как особенные, при этом исключаются), то получится новый поток, который будет изображением первоначального. Поток этот также будет вызван вихревыми точками, причем они будут изображениями особенных точек первоначального потока. Вихревые точки отображаются, следовательно, при конформном отображении вместе с потоком. Это свойство вихревых точек объясняется инвариантностью циркуляции при конформном отображении. Кривые, которые получаются при конформном отображении траекторий вихрей, уже не будут, однако, вихревыми траекториями в преобразованной области.

Рауз дал метод, с помощью которого можно по известной траектории одиночного вихря определить траекторию отображенного вихря. Одиночный вихрь движется в безвихревом (за исключением его самого) потоке совершенно так же, как обыкновенная частица в стационарном потоке, который уже не будет безвихревым. Функция тока этого вихревого потока (которая всегда существует) связана со скоростью движения вихря но своей траектории уравнениями

Для отыскания движения вихря в области комплексной плоскости эту область конформно отображают на область плоскости в которой движение вихря известно, так что там известна и функция тока Роута Если отображение производится с помощью функции

то Раузова функция тока в области будет:

где в правой части уравнения аргументы функции должны быть выражены через при помощи уравнения:

Рис. 42. (см. скан)

Полученная Роутова функция тока непосредственно дает траекторию вихря. Для нахождения перемещения вихря в зависимости от времени, необходимо, согласно уравнению (43), выполнить одно исключение переменной и одну квадратуру.

При существовании в области нескольких вихрей, для каждого из них существует <йвоя функция тока, причем она зависит от положения остальных вихрей. Преобразование дает только дифференциальные уравнепия движения, даже если известны траектории вихрей в области В простейших случаях эти уравнения удается проинтегрировать; например, движение двух вихрей внутри круга (область может быть сведено к движению двух вихрей в полуплоскости (область и решение может быть доведено до конца.