3. Выполнение вычисления.

Мы ограничимся тем случаем, когда имеет вид (8), но будем вести вычисление так, чтобы тот же метод можно было применить и в общем случае. Если установлено, что удовлетворяет ур-ниям (6), то задача заключается только в том, чтобы найти функций вида (1), удовлетворяющих тождеству § 4 (40), т. е. в нашем случае

Введем сначала вместо постоянных в ур-ния (1) значения величин т. е.

Далее обозначим через значение, которое принимает когда все кроме равны нулю, и аналогично, через значение Через обозначим значения и V, когда все равны нулю. Если мы сначала произведем в (9) эту последнюю подстановку, то мы сможем определить как функцию от При этом мы получим:

Если же мы положим в (9) все за исключением то мы получим:

Для упрощения последующих формул предположим, что при Тогда из (10) и (11) следует:

При этом 2 означает сумму, в которой отсутствует член с

Если ввести новые постоянные положив

то (12) примет вид:

Эти уравнения и представляют собой искомые уравнения разделения, зоответствующие общим ур-ниям (1). В таком случае, в силу ур-ний (2) и (3), из (14) вытекает решение дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби

и, в силу (4), общее решение уравнений движения:

где

если принять во внимание, что в ур-ниях (4) можно, в силу ур-ний (10) и (13), вычислить из

Таким образом, ур-ния (16) позволяют свести к квадратурам общее решение уравнений движения в том случае, когда удовлетворяет уравнениям (6). Если какая-либо координата, например совсем не входит в выражение следовательно, является "скрытой координатой", то она не может входить и в ур-ния (1), а, следовательно, и (14); мы можем считать соответствующее постоянной величиной, т. е. функцией величий и в соответствии с обозначениями этого пункта с самого начала положить следовательно, после чего остается проинтегрировать по методу разделения систему с переменными.