§ 5. Основы решения трехмерных: задач распространении колебаний методом комплексной переменной

1. Обобщение понятия плоских волн.

Рассмотрим в плоской задаче о свободных колебаниях полупространства, определяемой уравнением

некоторую определенную линию параллельную оси ординат. Если рассматривать колебательный процесс на этой линии, то очевидно, и будет там функцией двух переменных Может случиться, что функция как функция от в свою очередь удовлетворяет волновому уравнению с двумя переменными:

где — постоянная, независящая от и притом такая, что

В таком случае мы будет иметь, очевидно, на основании известного интеграла Даламбера:

Функция и может быть разбита на два слагаемых, для одного из которых точки одинаковых значений движутся по каждой ординате в направлении в граничной плоскости со скоростью а для другого движутся от этой плоскости с той же скоростью.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Функцию типа

мы будем называть падающей примитивной волной, а функцию типа

отраженной примитивной волной.

Нетрудно доказать, что данное нами одределение примитивных волн совпадает для пространства с понятием обычных плоских волн.

Действительно, обозначив, например, и принимая во внимание, что функция и зависит только от х и подучим, в силу (1):

или

Отсюда, по известной формуле Даламбера:

совершенно так же получим:

Таким образом, примитивные волны состоят каждая из двух плоских волн, движущихся в противоположных направлениях.

Понятие примитивных волн является, однако, существенно новым обобщением понятия плоских волн, если мы будем рассматривать пространство трех измерений. Переходим к анализу этого случая.

Пусть дано волновое уравнение в полупространстве с координатами где

Назовем примитивной падающей волной решение типа:

и примитивной отраженной — решение типа:

Легко видеть, что если обозначить, как раньше, через величину а через величину то обе примитивные волны будут удовлетворять условиям:

Являясь непосредственным обобщением плоских волн, примитивные волны обладают многими свойствами этих последних.

Рассмотрим самые основы теории таких волн в применении к задачам теории упругости.

В наших целях удобно обозначить через

При этом мы будем иметь основное уравнение теории примитивных волн в виде:

Из этого уравнения сразу вытекает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют значения функции и на плоскостях Это уравнение имеет вид:

то есть представляет собою опять волновое уравнение, по с двумя переменными и скоростью распространения По новерхдости распространяются таким образом типичные двухмерные волны.