4. Растяжение полосы с отверстием.

Рассмотрим случай растяжения стержня (полосы), в котором просверлено отверстие. Вели диаметр отверстия мал по сравнению с шириною полосы, то можно ириближенно вычислить изменение напряженного состояния, вызванного присутствием отверстия, вблизи отверстия, считая полосу бесконечно широкой, что приводит к следующей идеализированной задаче: найти напряжённое состояние пластинки, представляющей собою бесконечную плоскость с отверстием, в предположении, что на бесконечности пластинка нагружена чисто растягивающими усилиями (действующими в определенном направлении). Мы рассматриваем случай, когда отверстие круговое, с радиусом и центром в начале координат. Вводя функцию напряжения и считая, что растяжение производится параллёльно оси у, будем иметь на бесконечности:

значнт можем считать, что на бесконечности: -

с точностью до аддитивных функций, не дающих никаких напряжений на бесконечности.

К границе отверстия не должны быть приложены никакие силы, и, следовательно, должно быть:

Мы составим некое искомое решение функций, зависящих только от содержащих угол в виде множителя Такими функциями являются

и

которые все удовлетворяют дифференциальному уравнений) так как часть них является чисто потенциальными функциями, а часть потенциальными функциями с множителем Оба последние решения (йпадают, так как они на бесконечности возрастают слишком быстро. Остается

Так как при по условию,

то должно быть

и следовательно

Отсюда получаем:

На границе отверстия будем иметь:

Напряжение о» дается формулой:

и следовательно, на границе, при

Наибольшее значение получается при

Мы видим, таким образом, что наибольшее получающееся напряжение ровно в три рава больше, чем напряжение с на зконечноти, которое получилось бы и во всей плоокотв при отсутсхвйи отверстия.