4. Растяжение полосы с отверстием.
Рассмотрим случай растяжения стержня (полосы), в котором просверлено отверстие. Вели диаметр отверстия мал по сравнению с шириною полосы, то можно ириближенно вычислить изменение напряженного состояния, вызванного присутствием отверстия, вблизи отверстия, считая полосу бесконечно широкой, что приводит к следующей идеализированной задаче: найти напряжённое состояние пластинки, представляющей собою бесконечную плоскость с отверстием, в предположении, что на бесконечности пластинка нагружена чисто растягивающими усилиями (действующими в определенном направлении). Мы рассматриваем случай, когда отверстие круговое, с радиусом
и центром в начале координат. Вводя функцию напряжения
и считая, что растяжение производится параллёльно оси у, будем иметь на бесконечности:
значнт можем считать, что на бесконечности: -
с точностью до аддитивных функций, не дающих никаких напряжений на бесконечности.
К границе отверстия не должны быть приложены никакие силы, и, следовательно, должно быть:
Мы составим некое искомое решение
функций, зависящих только от
содержащих угол
в виде множителя
Такими функциями являются
и
которые все удовлетворяют дифференциальному уравнений)
так как часть
них является чисто потенциальными функциями, а часть потенциальными функциями с множителем
Оба последние решения
(йпадают, так как они на бесконечности возрастают слишком быстро. Остается
Так как при
по условию,
то должно быть
и следовательно
Отсюда получаем:
На границе отверстия будем иметь:
Напряжение о» дается формулой:
и следовательно, на границе, при
Наибольшее значение получается при
Мы видим, таким образом, что наибольшее получающееся напряжение ровно в три рава больше, чем напряжение с на
зконечноти, которое получилось бы и во всей плоокотв при отсутсхвйи отверстия.