2. Распределение электричества на эллипсоиде.

Поставленная в 1 однородная задача для случая эллипсоида решается следующим образом. Пусть

оси эллипсоида равны общий варяд равен тогда распределение заряда с поверхностной плотностью

удовлетворяет тому условию, что потенциал этого распределения внутри эллипсоида имеет постоянное значение, причем получается правильный общий заряд

В предельном случае отсюда получается распределение на эллиптическом диске, если стремится к нулю. Так как при этом, однако, стремится к нулю также и на поверхности, то мы должны сначала исключить посредством уравнения эллипсоида Поэтому мы напишем (2) в виде

откуда, при

Такой варяд расположен, однако, на обеих сторонах диска, поэтому плотность на единицу поверхности диска получается удвоением:

и в частности, для кругового диска

На краю эллиптического или кругового диска эта плотность становится бесконечной, тогда как поверхностный интеграл плотности, вычисленный элементарным способом, действительно, дает заряд Если вычислить эквипотенциальные поверхности, соответствующие этому распределению варядов, то мы получим семейство софокусных сжатых эллипсоидов вращения, фокусная кривая которых совпадает с краем кругового диска. В этом легко убедиться Посредством интегрирования или, общёе, посредством введения эллиптических координат; см. об этом гл. XV, § 3,3. Так как каждая эквипотенциальная поверхность сама может быть рассматриваема как проводник, то одновременно с этим мы находим потенциальное поле, соответствующее сжатым эллипсоидам вращения.

Так же просто вычисляется поле удлиненных эллипсоидов вращения. Примем сначала тогда, в силу (2):

В случае когда эллипсоид превращается в отрезок прямой, мы имеем:

и, следовательно, в этом случае заряд на единицу длины оси является постоянным: Мы получаем, таким обравом, случай равномерного распределения заряда на отревке оси х между причем полный варяд равен Потенциал этого распределения заряда в точке получается в результате элементарного интегрирования в виде:

Если положить вычисление дает нам эквипотенциальные поверхности, определяемые уравнением:

и так как то это уравнение действительно представляет семейство софокусных удлиненных эллипсоидов вращения с одинаковым фокусным расстоянием а. Мы можем, следовательно, расчитать поле, соответствующее такому эллипсоиду, распределяя заряд равномерно по отрезку, соединяющему фокусы.

Относительно представления посредством эллиптических координат, а также и о случае трехосных эллипсоидов см. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, том 2, II, гл. III.

3. Неоднородные основные задачи. Если проводник помещен в заданное электрическое поле, то в нем индуктируются Электрические заряды, и следовательно, образуется добавочное поле, которое компенсирует первоначально заданное поле внутри проводника. При этом, в силу основного положения е) (§ 1), сумма индуктированных зарядов должна равняться нулю, если проводник изолирован. Ищется потенциал, который устанавливается на каждом проводнике, и распределение заряда на его поверхности. Если же проводник простирается до бесконечности, то его потенциал следует считать равным потенциалу бесконечно удаленных точек, который определению равен нулю. Подобный же случай имеет место и тогда, когда проводник связан тонкой проволокой с землей, которую мы представляем себе очень удаленной; при этом остальными действиями проволоки можно пренебречь. В этом втором случае потенциал проводника задан, ищутся же сумма зарядов на нем и их распределение. Конечно, возможны многочисленные комбинации абеих этих задач, которые имеют место, например, тогда, когда некоторые из проводников изолированы, а другие заземлены.

Пусть задано электрическое поле и его потенциальная функция Мы ищем решение в виде:

причем добавочное поле Е: снаружи проводника не имеет источников. Тогда, на основании формулы (3) § 1, имеем для области вне проводников:

Внутри каждого проводника, а, следовательно, также и на его поверхности, потенциал принимает постоянное значение так что:

Эта повтоянная может либо быть задана, либо подлежать определению из условий задачи (полный заряд). Во всяком случае из отсутствия поля внутри проводника следует в силу непрерывности касательной составляющей по уравнению (7) § 1, что касательная составляющая внешнего поля вдоль поверхности проводника должна равняться нулю:

Рис. 67.

Это и есть пограничное условие для искомого внешнего поля которое может быть написано также в эквивалентной форме (7), применимой в силу непрерывности также и в точках, примыкающих к проводнику извне. Наконец, необходимо принять в расчет, что на бесконечном расстоянии добавочное поле должно исчезать, так как оно образовано зарядами, индуктированными на проводнике и, Следовательно, расположенными в конечной области. Так как в формуле (8) или в формуле (7) есть заданная функция, то эта задача является неоднородной.

Очень простой пример представляет случай незаряженного проводящего шара в однородном электрическом поле.

Пусть шар имеет радиус а и начало координат находится в его центре:

Пусть, далее, заданное однородное поле направлено вдоль оси х и равно потенциальная функция, следовательно, равна

Искомый добавочный потенциал должен удовлетворять уравнению (6), стремиться к нулю при а на поверхности сферы а равняться, на основании формулы (7)

Единственная функция, которая удовлетворяет этому условию с точностью до неопределенной постоянной с, есть,

так что окончательно получается решение

Плотность варяда на поверхности равна

откуда ясно, что если смотреть в направлении поля, то на ближайшей к нам стороне индуктируются отрицательные заряды, а на задней стороне — положительные заряды. Постоянное значение потенциала на поверхности шара равно , и то же самое значение потенциал принимает также на всей плоскости перпендикулярной заданному однородному полю (рис. 67).