2. Математические уравнения поля.

Теория потенциала позволяет представить указанные в 1 законы в виде следующих законов близкодействия, достаточных для построения электростатики:

a) В каждом электростатическом поле имеется скалярная потенциальная функция , обладающая тем свойством, что вектор напряжения поля равен ее градиенту, взятому с обратным знаком. Следовательно, этот вектор определяется равенством:

т. е.

b) В однородной среде с диэлектрической постоянной в которой распределены заряды с объемной плотностью имеет место равенство:

В частности, в тех областях пространства, в которых нет зарядов:

c) Внутри проводников электрическое поле всегда равно нулю, следовательно, Эта постоянная имеет везде одно и то же значение в системе проводников, связанных друг с другом проводящими связями. Если же система состоит из различных отделенных друг от друга частей, то каждая из этих частей характеризуется особым значением постоянной

Если заряд распределен на поверхности с поверхностной плотностью о, то иожно указать положительное направление нормали к поверхности и обозначить значения функций на положительной стороне значком или , а на отрицательной стороне значком — или В случае замкнутой поверхности а всегда означает внешнюю сторону, внутреннюю сторону. Тогда вместо (3) имеем:

Таким образом, нормальная составляющая напряжения поля терпит разрыв, в то время как из существования потенциальной функции следует, что тангенциальная составляющая остается непрерывной.

В частности, если заряженная поверхность проводника примыкает к диэлектрику с постоянной в, то внутри проводника в силу с). Следовательно, мы имеем в этом случае для плотности варяда на пограничной поверхности уравнение:

е) В диэлектрике плотность варяда везде является заданной функцией координат. Если две однородные диэлектрические среды о диэлектрическими постоянными в, и граничат друг с другом вдоль некоторой поверхности, то равновесие между ними, по представлениям Фарадея, устанавливается таким образом, как будто бы эта граничная поверхность представляла собой тонкий слой, проводящий в поперечном направлении. С обеих сторон этой поверхности образуются, следовательно, заряды, однако сумма их поверхностных плотностей о, и в каждом месте равняется нулю.

Если опять обозначить через нормаль, направленную наружу, в силу уравнения (5):

Нормальная составляющая вектора

является, следовательно, на граничной поверхности непрерывной; касательная составляющая вектора тоже остается непрерывной, вследствие непрерывности потенциальной функции вдоль граничной поверхности, т. е.

Вектор совпадающий по направлению с вектором называется электрическим смещением, а вектор называется электрической поляризацией.

t) Если диэлектрическая постоянная сама является непрерывной функцией координат, то из представлений, аналогичных тем, которые были развиты в пункте е), следует, что вектор либо не имеет источников, либо его источниками являются находящиеся в диэлектрике заряды. Следовательно:

Вдоль поверхности, заряженной поверхностными зарядами, имеет место соотношение:

а вдоль проводящей поверхности, в силу равенства

причем соотношение остается справедливым.

Далее

и соответственно:

означают пространственную и поверхностную плотности свободно заряда.

g) Если имеются заряды, распределенные в объеме или на поверхности, то потенциальная энергия поля, в силу (1), определяется выражением:

При этом необходимо предположить, что плотности зарядов на бесконечности обращаются в нуль достаточно быстро, так что обншй заряд остается конечным. Вставим сюда значения из (8) и и применим теорему Грина в форме:

В качестве граничной поверхности рассматриваемой области необходимо при этом взять, во-первых, обе стороны поверхностей, заряженных поверхностными зарядами, а во-вторых, шаровую поверхность очень большого радиуса, охватывающую всю систему электрических зарядов и поля. Интеграл, по этой шаровой поверхности стремится к нулю с увеличением радиуса так как, но предположению, стремится к пулю пропорционально а - пропорционально Следовательно, остается:

В этом выражении энергия системы уже не связана с зарядами, а распределена но всему пространству, заполненному нолем. Это толкование, которое в электростатике является чисто формальным и вполне эквивалентно прежнему представлению о распределении энергии, оказалось чрезвычайно плодотворным для дальнейшего развития электродинамики.