§. 8. Задача о диффракции плоских волн

1. Постановка задачи.

При распространении волн существенную роль играют явления, происходящие при колебании частей пространства, ограниченных контурами, имеющими угловые точки. Такого рода задачи вместе с некоторыми другими, подробно разобранными на страницах этой книги для случая световых волн, обычно объединяют под общим названием задач диффракции, Для нас представляет интерес одна из простейших задач этого рода о колебаниях полуплоскости, ограниченной двумя лучами, выходящими из начала координат. В полярных координатах задача эта формулируется математически следующим образом.

Найти решения волнового уравнения

в области

при соответствующих дополнительных условиях. Часто эти дополнительные условия даются в виде граничных условий на прямых линиях определенных начальных условий.

Мы разберем граничные условия двух типов:

и

Чтобы не слишком загромождать изложение, ограничимся случаем, когда то есть случаем свободных колебаний.

Углы могут быть совершенно произвольными и в некоторых случаях их удобно отодвигать на бесконечности, полагая

Геометрический смысл такой задачи сводится в изучению Колебаний бесконечно-листной римановой поверхности логарифмического типа.

Чтобы построить такую поверхность, необходимо наложить одну на другую бесконечное множество простых плоскостей разрезанных вдоль оси от начала координат в бесконечности. После этого нужно соединить верхний берег разреза на листе с нижним берегом разреза листа, Легко показать, что к задаче о колебании такой поверхности может быть сведена общая задача о диффракции с любыми

Способ, которым это достигается, аналогичен способу, применяемому при решении уравнений струны с граничными условиями по способу Даламбера.

Пусть мы имеем решение волнового уравнения (1) в области (2), удовлетворяющее, например, условиям (3)

Построям функцию:

определенную в области

Эта функция в некоторой точке имеет значение, обратное но знаку значению и в точке, симметричной относительно прямой Покажем, что если мы продолжим функцию и на область (7), определяя ее в области (2) как функцию (5), а в области (7) как функцию (6), то мы получим правильное решение волнового уравнения, для которого прямая будет линией непрерывности функции и ее производных.

Действительно, значения и о обеих сторон, в силу (3), обращаются в нуль, равно как и значения производных от по Производные же по совпадают, как видно из непосредственного дифференцирования. Совершенно так же можно доказать непрерывность всех производных от нашей функции, которые существуют вплоть до границы

Принцип отражения, которым мы воспользовались, может быть повтореп многократно. При этом мы получим следующий результат.

Функция и, определенная в области (2) и удовлетворяющая волновому уравнению и граничным условиям (3), может быть определена во всем пространстве

с помощью формул:

Определенная таким образом периодическая функция с периодом будет иметь непрерывные производные во всей области существования кроме етарых правильных разрывов и их периодических повторений.

С помощью этого построения мы приходим к идее многолистного пространства, подробно развитой Зоммерфельдом на страницах этой книги. Полученное нами многолистное пространство имеет бесконечное множество листов, связанных в одной точке разветвления. Поверхность такого типа с листами, идущими от до обычно называется логарифмической римановой поверхностью. Из всего сказанного вытекает, что для решения задачи о диффракции в общем виде, достаточно уметь решать задачу о диффракции на логарифмической римановой поверхности.