4. Дифференциальные уравнения вековых возмущений.

Если теперь для краткости обозначим сами вековые возмущения через (вместо ), то они удовлетворяют на основании (33) дифференциальным уравнениям:

В смысле гл. II, § 2, (52), ото каноническая система дифференциальных уравнений первого порядка с гамильтоновой функцией Интегрировать ее можно, согласно гл. II, § 4, 8, введением соответствующих канонических переменных. Для простоты мы здесь предположим, что величины сами представляют собой соответствующие канонические переменные, т. е. что зависит только от В таком случае из (35) вытекает:

Так как величины являются угловыми переменными, координаты положения системы являются периодическими функциями с периодом то о - представляют частоты колебаний возмущенной системы, так же как, согласно (25), (26), величины представляют частоты колебаний певозмущенной системы. К этим частотам прибавляются еще величин так что под влипнем возмущения система превращается опять в точно -кратно периодическую, и следовательно вырождение в общем случае исчезает.. Исключение имеет место только тогда, когда между имеются целочисленные однородные соотношения, например, некоторые из них обращаются в нуль. В этом случае возмущенная система также вырождена. Но сравнению с величинами величины малые порядка

На ряду с быстрыми изменениями (периодическими) под влиянием возмущения происходят медленные (вековые) изменения величин Если мы хотим вычислить координаты положения системы при вековом возмущении, то для величин необходимо вставить в гл. II, § 6, (7) их значения из (22), выкинув периодические члены, а для величин вставить значения взяв их значения из (36). В таком случае в формуле для все коэффициенты А и все фазовые углы 8 постоянны, и формула гл. II, § 6, (16), имеющая место для невозмущенной вырожденной системы, периодичной лишь -кратно, заменяется для системы, которая под влия нием возмущения стала -кратно периодичной, формулой:

При этом представлении движения системы мы пренебрегли периодическими членами и положили

Если предположить, что все величины малы, то мы приходим к так называемой элементарной неории вековых возмущений. Прежде всего к каноническим переменным применяется касательное преобразование:

В таком случае, как известно, уравнения (35) опять переходят в канонические уравнения. Пусть есть выражение в новых переменных Следовательно, мы имеем:

Так как из (38) вытекает то в разложение по степеням малых величин входят только члены четной степени. Поэтому мы положим в первом приближении:

следовательно, в силу (39):

Мы получаем, следовательно, систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В таком случае вековые возмущения можно в смысле гл. III, § 3, 1 рассматривать как малые колебания около невовмущенного движения. Введенное там уравнение гл. III, § 3, (9) для определения частоты колебания называется поэтому "вековым уравнением". Итак, мы видим, что вековые возмущепия вовсе не означают большие возмущения, а возмущения, которые не уничтожаются в среднем за период певозмущенной системы, но должны пметь много больший период (т. е. малую частоту), если они вообще периодичны.

Уравнение (40) получилось только при том предположении, что канонические переменные, соответствующие гамилътоновой функции В, следовательно, зависит только от Однако, и в том случае, когда входят в В, можно выполнить преобразование (38), из которого вытекают уравнения (39). Если В имеет такой вид, что для В имеет место приближенная формула вида (40), то можно применять теорию малых колебаний.