4. Частное преобразование Лоренца.

В общем ортогональном преобразовании (общее вращение в четырехмерном пространстве) заключается в частности и трехмерное вращение. Так как оно нас не интересует, мы предположим, Схема преобразования будет тогда:

Таблица 4 (см. скан)

Если мы напишем сокращенно учитывая мнимый характер положим, то условия ортогональности (11) дадут:

Если взять всюду верхний знак, что не ограничивает общности, то уравнения преобразования будут:

или после перехода к координатам

Эти уравнения показывают, что штрихованная оистема координат движется по отношению в нештрихованной в направлении положительной оси х со скоростью

В самом деле, сделаем мы получим из по первому уравнению

С другой стороны, второе уравнение (14а) показывает, что при этом нужно также преобразовывать и время, т. е. что

Подставляя в (14а), мы получим общую форму преобразования Лоренца и обратного преобразования:

Переходя к пределу мы приходим к галилееву преобразованию классической механики

Итак, привычное для нас представление об абсолютном времени обусловливается только громадностью скорости света с и верно лишь приблизительно.

Здесь не место выводить массу следствий, вытекающих из уравнения (15) для кинематики теории относительности: релятивизация одновременности, скорость света, как верхняя граница для всякого материального движения Лоренцово сокращение (длина тела, измеренная в "движущейся вместе с ним системе", кажется в "покоящейся системе" укороченной в раз), Эйнштейновское замедление времени (измеренное в "движущейся системе" время кажется в "покоящейся системе" удлиненным в у: раз, например, период колебаний кажется смещенным к красному концу спектра), теорема сложения скоростей, опыт Майкельсона (Michelson) и мн. др. Мы должны упомянуть здесь только о некоторых электродинамических следствиях.

Во-первых, четырехмерный вектор преобразуется как координатный вектор х. Следовательно, мы имеем по (14)

Таким образом, разделение на скалярный и векторный потенциал зависит от точки зрения наблюдателя; в входит как так и

Что касается преобразования поля то оно содержится в общем виде в уравнениях (13). Если их специализировать для частного случая преобразования Лоренца с осью х в качестве направления движения, мы должны положить все равными нулю, за исключением

Мы легко получим тогда

Электрическое и магнитное поля образуют единое целое и могут быть разделены только по отношению к употребляемой системе координат. При перемене системы координат из магнитного поля получаются добавки к электрическому и наоборот. Если, например, в некоторой системе т. е. поле электростатическое, то в другой системе координат мы наблюдаем, кроме электрической, также и магнитную сторону явления. (Геометрическая аналогия: при прямом зрении от куба видна только передняя сторона, при рассматривании вкось - также и боковая).

Пусть, например, поле в нештрихованной системе соответствует покоящемуся электрону:

[Относительно множителя см. (1), § 1]. Тогда, по (17), для штрихованной стемы, в которой электрон движется в сторону отрицательных х со скоростью будет

Отсюда следует: магнитные силовые линии представляют окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной к направлению движения электрона, интенсивность поля равна:

Электрические силовые линии и в штрихованной и в нештрихованной системе суть прямые, расходящиеся из мгновенного местонахождения электрона; они концентрируются у средней плоскости Электрона и для сосредоточены в этой плоскости. В самом деле, выражая в через взяв, например, получим;

Определение поля равномерно движущегося заряда сводится в теории относительности к алгебраическим преобразованиям, тогда как в старой электродинамике приходилось применять интегрирование. О поле ускоренного заряда речь будет в ближайших параграфах.

Уравнение (17) можно еще упростить и обобщить, если освободиться от оси х, в качестве направления движения.

Если мы условимся, что слово "продольный" означает направление, параллельное направлению движения, "поперечный" — перпендикулярное направление, то (17) эквивалентно следующим уравнениям:

Особенно важны выражения, стоящие в числителях "поперечных" формул. По Лоренцу они представляют пондеромоторную силу, действующую на движущуюся единицу заряда (движущийся единичный нолюс).

Чтобы ввести эти силы в четырехмерную систематику, обозначим через электродинамическую силу на единицу объема и представим ее в виде четырехмерного вектора

с составляющими

В самом деле, можно показать в общем виде, что произведение вектора на антисимметричный тензор будет опять вектором, и что для нашего частного случая первые три составляющие тождественны с например:

Мы видим, что Лоренц в своем выражении для (относящейся к единице объема) пондеромоторной силы ввел ковариантную величину, имеющую смысл в теории относительности. Вообще, лоренцовская электронная теория была законным предшественником теории относительности. Величины, не имеющие

векторного иди тензорного характера в смысле группы преобразовании Лоренца, т. е. не инвариантные, не имеют вообще никакого физического значения.

Интересно образовать также четвертую составляющую выражения (20). Она будет:

я означает умноженную на — работу электрических сил, отнесенную к единице объема и к единице времени.

К динамическим или пондеромоторным составляющим добавляется четвертая, мнимая, энергетическая. Это также характерная черта четырехмерной физики.

Здесь следовало бы рассмотреть вопрос о том, как включить понятия плотности и потока энергии в четырехмерную схему. При этом оказалось бы, что они не представляют самостоятельных величин, а являются соотавными частями более общего тензора, "тензора напряжений и энергии" (Spannungsenergietensor), расходимость которого совпадает с силой Однако это завело бы нас слишком далеко. Мы удовольствуемся тем, что констатируем: избранный здесь путь, заключающийся в требовании инвариантности уравнений Максвелла, есть настоящая regia via {царский путь) в область теории относительности и электродинамики.