2. Стоячие волны. Свободные колебания.

Мы ограничимся здесь более частными задачами, а именно, такими, которые относятся к ограниченным проводникам. Для этой цели найдем сначала частные решения уравнений (6), (9), в которых как I, так и выражаются в виде произведения функции от и функций от х. Так как речь идет о дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами, то в качестве такого частного решения можно взять

При этом представляют собой постоянные, для которых мы, вставляя (11) в (6) и (9), получаем следующие соотношения:

следовательно, после исключения постоянных

и после исключения

Сначала рассмотрим случай, когда гармонически периодичны по отношению к х, или же составляются из таких частей; в этом случае чисто мнимое — мы обозначим его и согласно (13)

отрицательно и вещественно при , тогда как при больших значениях обе эти величины комплексны, сопряжены друг другу и имеют отрицательную вещественную часть. Следовательно, при этом происходят апериодически уменьшающиеся или затухающие колебания. Рассмотрим последний случай и положим

Тогда, к омбинируя показательные множители, соответствующие и используя (12), мы можем построить следующие частные решения (мы обозначаем эдесь буквой постоянную, которой определяется сила тока):

Такие решения, как известно, называются свободными стоячими колебаниями, так как местоположения нулей и максимумов тока и напряжения неподвижны, и член со временем определяется только постоянными системы. В пространстве имеется между напряжением и током сдвиг фаз на четверть волпы, а знаменатель а в выражении для означает, что напряжение отстает от тока на фазу во времени в случае т. е. опять дает сдвиг фаз в четверть периода.

В качестве применения возьмем случай, когда в момент задано распределение заряда на проводнике длины I, открытом с обеих сторон, причем исследуется неустановившийся режим. На концах проводника в каждый момент времени имеет место равенство

и кроме того в начальный момент ток везде равен нулю, т. е.

Разложим решение в ряд Фурье, причем согласно условиям (16), разложение должно иметь вид:

где есть целое число. В таком случае распределение заряда и напряжения, согласно формуле (15) с учетом выражения (13), в котором нужно положить имеет вид:

В момент мы получаем отсюда:

так что определяется из соотношения Фурье: