5. Полные дифференциальные уравнения.

Мы выведем еще раз с незначительными изменениями, теорему о количестве движения, установленную в главе об идеальной жидкости.

Рассмотрим произвольный, неподвижный в пространстве, элемент объема V в текущей жидкости. Количество движения Жидкости, содержащейся в V, имеет составляющие Вычислим приращение за малое время от до Количество движения изменяется, во-первых, потому, что на наше количество жидкости действуют силы. Частью это будут объемные силы (как, например, сила тяжести), равнодействующая которых будет иметь по оси составляющую частью же это будут упомянутые выше напряжения, которые, как мы предполагаем, заменяют собой действие окружающей жидкости (или неподвижных стенок). Напряжения, действующие на поверхность объема V, имеют равнодействующую, составляющая которой по оси равна [cp. (la)], где обозначают направляющие косинусы внешней нормали к поверхности.

Во-вторых, жидкость переносит в своем течении количество движения через ограничивающую поверхность. Через элемент поверхности вытекает объем жидкости так как составляющая скорости в направлении нормали

будет Этот объем жидкости выносит из V количество движения с составляющей по оси равной если обозначает плотность жидкости.

Для полного изменения за единицу времени составляющей по оси от количества движения мы получаем следующее выражение:

С другой стороны, количество движения жидкости, находящейся в V, имеет составляющую по оси равную Это выражение нужно подставить в левую часть вышепаписанного уравнения. Одновременно мы преобразуем по теореме Гаусса оба поверхностных интеграла в объемные. Мы получим:

Это уравнение будет иметь место при произвольном выборе области интегрирования. Поэтому само подъинтегральное выражение должно быть нулем, откуда

Мы предположим теперь, что жидкость несжимаема. Тогда плотность будет постоянна. Далее, мы знаем, что существует уравнение неразрывности . С помощью (4) мы получим:

причем имеет значение

Далее

После подстановки в (5) и добавления уравнения неразрывности мы получим полные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости

Они содержат уравнения движения идеальной жидкости (стр. 356) как частный случай в чем легко убедиться, переходя к старым обозначениям.