5. Обобщенные комплексные решения.

Область неаналитичности. После того как мы определили ряд новых понятий в теории волнового уравнения, вернемся к исследованию комплексных решений волнового уравнения.

Разберем прежде всего тот случай, когда в некоторой области изменения вещественных функция 2, определенная равенством:

принимает в плоскости комплексного переменного последовательность значений, лежащую на одной линии, то есть зависящую от одного вещественного параметра.

В § 2 настоящей главы мы доказали, что при этом всякая функция

два раза дифференцируемая вдоль этой линии, является решением волнового уравнения (1). Можно доказать значительно более общее утверждение.

В рассматриваемой области всякая суммируемая, в смысле Лебега, функция является обобщенным решением волнового уравнения.

Мы будем пользоваться в дальнейшем лишь частным случаем этой общей теоремы применительно к однородным решениям. Для этого случая она формулируется следующим образом. Произвольная функция переменного или (см. § 2) иди соответственно определенная на окружности единичного радиуса и суммируемая по дуге этой окружности, является обобщенным решением волнового уравнения во внешности конуса

Доказательство этого утверждения мы оставляем в стороне, отсылая читателя к специальной литературе по данной вопросу, указанной в конце главы.