§ 2. Оптическое отображение в общей случае анизотропной среды

1. Эйконал точки, эйконал угла и уравнения отображений.

Всякое решение уравнения эйконала, § 1, (59), дает определенную волновую последовательность, которая определена, если задана форма волновой поверхности в момент Мы рассмотрим сейчас такую волновую последовательность, которая в момент локализована в одной точке, иначе говоря — световое возбуждение, распространяющееся от точечного источника. Обозначим радиус-вектор этой точки через Соответствующее решение уравнения эйконала должно содержать как параметр и, следовательно, его можно представить в виде Это решение как функция от удовлетворяет уравнению (59) § 1; поэтому, согласно § 1, уравнение (58), вектор нормали в точке можно выразить в форме;

Рассмотрим точку с радиуоом-вектором Величина согласно уравнению (76) § 1, представляет собой ход светового луча, связывающего точки действительно, все лучи света, проходящие черев точку принадлежат к волновой последовательности, описываемой нашим эйконалом; поэтому сравнивал теперешние обозначения с обозначениями § 1, уравнение (76), получим Однако, на основании определения величины очевидно, что поэтому

что и подтверждает правильность указанного значения функции

Рассмотрим теперь луч света, распространяющийся от точки к точке Обозначим нормали, соответствующие вектору в точке на основании (40), через тогда, согласно (1):

Если обозначить через эйконал, соответствующий точечному источнику в точке то световой луч, идущий от точки принадлежит к этой волновой последовательности. Если рассматриваемое тело имеет симметричную анизотропию, то нормальный вектор, соответствующий точке равен и мы имеем аналогично (3):

Однако, в этом случае, на основании § 1, (77) и уравнения (2), можно написать:

откуда, принимая во внимание (За), получим:

Уравнения (3) и (5) здесь выведены, конечно, для случая "симметричной анизотропии; тем не менее они справедливы также и в общем случае анизотропных тел.

Функцию точек представляющую ход луча между точками т. е. мы называем точечным эйконалом нашей оптической задачи. Его можно вычислить, согласно § 1, зная коэффициент преломления исследуемого тела. Уравнения (4) и (5) светового луча позволяют для любых двух точек и найти направление связывающего их луча в конечных точках, если известно значение функции в этих точках. В самом деле, на основании § 1, (53), вектор направления можно вычислить из выражений для или В том случае, когда точки рассматриваются как точечный объект и его точечное изображение при некотором оптическом отображении, мы будем называть уравнения (3) и (5) "уравнениями отображения".

Часто бывает удобно исходить не функции координат т. е. не объекта и его изображения, а из некоторой функции, зависящей от направления нормалей в этих точках. При этом вместо функции вводится функция:

Последняя зависит только от так как на основании уравнений (3) и (5) величины можно выразить как функции от и подставить их в уравнение (6). Функция называется угловым эйконалом нашей оптической задачи. Легко видеть, что, пользуясь им, можно очень просто сформулировать уравнения отображения (3) и (5). В самом деле:

Принимал во внимание, что представляют собою функции от мы получим:

Применяя оператор следует помнить, что второй множитель в круглых скобках должен рассматриваться как постоянная величина. Далее:

здесь также нужно дифференцировать по составляющий только первый множитель выражения, заключенного в скобки. В таком случае из уравнения (3), в силу определения (6), вытекает, что

Применяя в обеим частям уравнения (6) оператор мы получим при иомощи аналогичных преобразований:

Уравнения (8) и (9) представляют собою уравнения отображения, выраженные через угловой эйконал. Они позволяют вычислить координаты объекта и изображения из направлений луча в этих точках.

Функция называется угловым эйконалом по следующим причинам. Если точки и лежат в областях постоянных показателей преломления то, согласно (40) § 1, , определятся при помощи следующих соотношений:

Если подставить эти выражения в (6), то окажется функцией исключительно от начального и конечного направлений светового луча. Исключая, кроме того, переменные при помощи условий мы окончательно получим функцию от четырех переменных которая обычно и называется в оптике угловым эйконалом.