3. Элементарные плоские волны логарифмической поверхности.

Для удобства проведем на нашей логарифмической поверхности купюры на всех ее листах от начала координат до бесконечности по отрицательной части оси х. Условимся считать листом с номером тот лист римановой поверхности в котором изменяется в пределах

Рассмотрим обобщенное решение волнового уравнения, которое мы назовем элементарной плоской волной.

Определим функцию при следующими равенствами:

Это движение представляет собою плоскою волну на нулевом листе римановой поверхности, движущуюся со стороны положительных х. До вступления возмущения в некоторую точку, значение функции и равно нулю, а после его вступления На всех остальных листах римановой поверхности мы при имеем покой.

Нетрудно убедиться в том, что построенная нами функция действительно является обобщенным решением волнового уравнения. Для доказательства достаточно отметить, что на нулевом листе ее можно, например, представить в виде:

где

причем стремится к оставаясь ограниченным.

Нетрудно видеть, что функция определенная равенствами (21), представляет собою однородную функцию координат и времени. Мы могли бы доказать непосредственно, что она является обобщенным решением волнового уравнения, но это доказательство настолько просто, что мы предоставляем его читателю.

Как вытекает из предыдущего, функцию можно представить в форме (17). Это представление, как легко проверить, имеет следующий вид:

Действительно, внутри конуса (12) при

Поэтому и совпадают и развость их обращается в нуль. Значения функций внутри (12), очевидно, лежат в верхней полуплоскости, благодаря тому, что

На окружности единичного круга принимает чисто вещественные значения, поэтому представляя собой предельные значения для функции, лежащей в полуплоскости, может иметь только два значения или в зависимости от того, будет ли положительным или отрицательным числом.

Рис. 66.

То же относится и к функции Вспоминая геометрический смысл во внешности конуса (12), подробно выясненный нами в § 2, мы видим, что вещественная часть первого слагаемого в формуле (24) равна 1, при и нулю, при Аналогично, вещественная часть второго слагаемого равна — 1 при — и нулю при Отсюда и вытекает справедливость (21).

Формула (24) дает нам, однако, не только представление решения при но и ответ на вопрос о поведении решения при Действительно, решение, представляемое этой формулой, является обобщенным решением волнового уравнения. Как мы отмечали раньше, правда, без доказательства, такое решение является единственным. Так как для оно совпадает с то очевидно, что формула (24) и дает ответ на интересующий нас вопрос.

Тем самым она сразу, в замкнутой форме, решает задачу о диффракции элементарной плоской волны.

Проанализируем геометрическую структуру решения для

На нулевом листе мы будем иметь следующую картину (рис. 56).

Диффракционное возмущение будет сосредоточено внутри круга радиуса проведенного из начала координат. Касательная к этому кругу, проведенная из точки с координатами точнее две полукасательных и отделяют область, ограниченную контуром где функция равна единице, от области покоя где равно нулю. На всех остальных листах все возмущение сосредоточено внутри круга радиуса а во внешности его

Все это может быть получено непосредственно из анализа выражения (24).