2. Явный вид решений в случае периодического движения.

Найдем формулы для решений в периодическом случае, когда в (12) не имеет места знак равенства. Так как все время оотается между мы можем ввести вспомогательный угол такой, что

При этом

где

Далее из (14) вытекает:

вставляя (15) и (17) в (10), получаем

и после интегрирования.

где есть постоянная интегрирования, а именно, момент, в который тело занимает положение (т. е. ).

Интеграл в уравнении (19) есть эллиптический интеграл первого рода, обозначаемый Если положить в нем то он переходит в нормальную форму Лежандра Обратная функция есть введенная Лкоби функция

Воспользовавшись двумя другими эллиптическими функциями из (5), (16) и (14) получим:

Знаки должны быть при положительном квадратном корне выбраны так потому, что при положительном на основании первого уравнения (1), в силу совпадают по знаку, и согласно известной формуле теории эллиптических функции имеет место соотношение Уравнения (21) дают самое общее решение уравнений Эйлера (1), так как они содержат три произвольные постоянные

Для того чтобы получить координаты положения, как функции времени и трех дальнейших произвольных постоянных (начальных значений необходимо вместо вставить выражения (21) в кинематические уравнения § 1, (8) и проинтегрировать последние. В нашем случае задача может быть облегчена обходным путем с помощью дифференциальных уравнений для направляющих косинусов § 1, (6). Из § 1, (13) оледует, в силу постоянство главного вектора количества движения во времени. Если мы выберем его в качестве оси неподвижной системы, его составляющие в системе, связанной с телом, равны, согласно § 1, (20): его абсолютная величина, согласно (2), равна и поэтому направляющие косинусы оси

Эти представляют собой, если удовлетворяют уравнениям (1), частное решение системы § 1, (6). С помощью последних трех уравнений § 1, (2) можно перейти от а именно, мы имеем:

и

Подставляя эти значения в последнее из уравнений § 1, (8), мы получим:

Если вместо подставить их значения из (22), исключить затем с помощью первого из уравнений (2), то мы получим из (24) посредством квадратуры:

При этом означает произвольное начальное значение Так как, согласно (21), содержит три произвольные постоянные, и две произвольные постоянные определяют положение главного вектора количества движения в пространстве, то (23) и (25) представляют собой самое общее решение с шестью произвольными постоянными. Но периодические функции времени с периодом который, согласно (13) и (14), может быть написан также в форме:

На основании (23), (24) величины также представляют собой функции времени с периодом

Легко видеть следующее: растет постоянно и поэтому должно в течение периода увеличиться как раз на для того чтобы принял свое прежнее значение; наоборот, колеблется между двумя граничными значениями (которые соответствуют значениям и выполняет за время как раз полное колебание. Для из соотношения посредством интегрирования мы получаем:

т. е. возрастает за каждый период на одну и ту же постоянную величину.