8. Распространение холода.

Рассмотрим теперь задачу теплопроводности, примыкающую в известном отношении к задачам предыдущего параграфа, но отличающуюся от них своеобразным граничным условием, что интересно в методическом отношении. Дело идет о важной физической задаче о проникновении холода (например, в сырую землю или в стоячую массу воды) или распространении застывания в расплавленную металлическую массу при охлаждении. Мы будем рассматривать жидкую массу, ограниченную с одной стороны плоскостью и

неограниченно простирающуюся в другие стороны. Пусть в момент она обладает везде постоянной температурой Граничная поверхность длительно поддерживается при некоторой постоянной температуре пиже точки замерзания жидкости. В таком случае прилегающий слой быстро замерзает, и граница затвердевания будет со временем все дальше и дальше проникать внутрь жидкости. Мы спрашиваем о скорости этого продвижения и о распределении температуры как функции места и времени.

Пусть граничная плоскость есть плоскость координату границы мерзлоты в данный момент назовем через и пусть температуропроводности и теплопроводности твердого и жидкого состояпий. Теплоту плавления, т. е. количество тепла, необходимое для того, чтобы расплавить единицу массы твердого вещества, назовем А. Тогда на границе мерзлоты имеем следующий тепловой баланс: к твердому веществу в направлении убывающих х за время через квадратный сантиметр утекает количество тепла Со стороны жидкости приходит количество тепла Разность этих двух выражепий должна как раз равняться количеству тепла, идущему на процесс плавления за время

Но за время граница холода передвинется на отрезок следовательно, объем расплавленного вещества равен масса а связанное количество тепла

Итак, мы получаем граничное условие:

К этому надо прибавить еще условия

так как температура плавления у пас положена равной нулю и так как во всяком случае граница охлаждения дойдет лишь за бесконечно длинное время до

Дифференциальные уравнения имеют вид:

Покажем, что наши начальные и граничные условия удовлетворяются, если положить:

где постоянные и 4 есть функция, определенная в § 2, 3. Что так определенные и удовлетворяют уравнениям следует уже из того, что формула (11), § 2, есть частный интеграл уравнения теплопроводности. Условия (47) при дают:

Итак, выполняется и начальное условие, требующее, чтобы при Оставшиеся граничные условия (47) дают:

Чтобы это имело место для всех времен, аргумент в обоих уравнениях должен быть постоянным, следовательно, пропорционально Положим:

Теперь мржно определить постоянные А и В:

Наконец, надо еще посмотреть, можно ли постоянную а, остающуюся пока свободной, определить так, чтобы граничное условие (46) выполнялось тождественно. Подставляя (49) и (50) в (46), имеем:

Здесь сокращается и, подставляя (51), мы получим:

Из этого трансцендентного уравнения надо определить а. Легко видеть, что при по крайней море одно такое а существует. Действительно, при левая сторона уравнения равна а при она равна тогда как правая сторона пробегает значения от до Должно быть поэтому, по крайней мере, одно положительное значение а, дающее обеим сторонам равные значения. Из а находим затем постоянные ласно (51) и, подставляя в Таким образом, задача решена. К сожалению этот метод невозможно распространить на произвольное начальное состояние, так как, в силу неоднородности граничного условия (46), невозможно составить общий интеграл из сложения частных.

На рис. 62 показано распределение температуры для случая лед—вода для ряда моментов времени, причем приняты следующие данные (индекс 1 обозначает лед, 2 — вода);

Решая (52) графически, находим и отсюда для постоянных А, В: