Главная > Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Касательное преобразование, канонические переменные.

Мы говорим что состояние механической системы определено, если заданы значения координат и импульсов момент времени и энергия При этом необходимо заметить, что для того, чтобы описать состояние системы, собственно говоря, достаточно задать первые величин и так как этим самым определяется и энергия системы. Однако в некоторых отношениях удобнее задавать все величин. Если теперь ввести функций от то "состояние" будет определяться этими новыми величинами точно так же, как и координатами импульсами и временем При этом опять следуетиметь в виду, что одно из уравнений преобразования оказывается излишним, так как преобразование энергии определяется уравнениями преобразования и времени Таким образом, в -мерном пространстве переменных вводятся новые криволинейные координаты с помощью уравнений:

Так как величина является, согласно (6), функцией от то следует, что между существует некоторое соотношение. Если относительно первоначальных величин, характеризующих состояние системы, нам известно, что величины определяют положение, (вместо с состояние движения, момент времени и энергию, то относительно новых величин, характеризующих состояние системы, можно только сказать, что они все вместе определяют положение и скорость, время и энергию.

Большое значение в механике имеют такие преобразования (10), которые озтавляют неизменным вид системы канонических уравнений движения Гамильтона (7). Это нужно понимать следующим образом: если мы выразим с помощью соотношения между вытекающего из (10) и (6), величину как функцию остальных величин, то мы получим уравнение

Функцию называют функцией Гамильтона, преобразованной при помощи ур-ний (10). Инвариантность уравнений (7) относительно преобразования (10) выражается, следовательно, тем, что они переходят в уравнения

Точно так же ур-ния (9), вытекающие переходят в

При этом величины называют каноническими переменными и, в частности, величину называют канонически сопряженной с Такое "каноническое преобразование" характеризуется тем, что выражение

представляет собою полный дифференциал произвольной функции от В частности, если положить т. е. если не преобразовывать время то мы получим из (11):

Если вместо и подставить их значения из (6) и (14), то условие (13) для нашего канонического преобразования примет вид:

но так как

то из (15), сравнивая коэффициенты, мы получим:

и

Инвариантность канонических ур-ний (7) и (9) относительно преобразовг (17) лежит в основе одного из методов интегрирования первоначальной системы уравнений. В самом деле, мы можем выбрать "производящую" функцию канонического преобразования таким образом, чтобы новая фупкци» Гамильтона имела возможно более простой вид, например, тождественно обращалась в нуль. В этом случае можно без труда проинтегрировать новую систему с переменными При этом для 2, согласно (17), мы получим

Таким образом, мы пришли к дифференциальному уравнению Гамильтона-Якоби, известному из аналитической механики. Оно аналогично уравнения эйконала (6а) геометрической оптики. Нахождение интеграла дифференциальное уравнения в частных производных (18), содержащего произвольных постоянны; эквивалентно интегрированию системы (9), так как последнюю в новых переменных легко представить в виде:

вследствие того, что Таким образом, величины в (16) сделаются постоянными, если вместо подставить решения ур-ния (9), и удовлетворяет ур-нию (18). Поэтому полным интегралом в (18), т. е. решением с произвольными постоянными можно воспользоваться для решения уравнений движения (9). Если решить систему ур-ний (16) относительно переменных и то эти переменные будут представлять собою функции от и от 2» постоянных Таким способом, согласно § 2, 6, мы получим наиболее общее решение уравнений движения (9).

В качестве постоянных можно, например, выбрать значения в определенный момент времени. Тогда связь между ур-ниями (16), (17) и интегрированием уравнений движения может быть выражена следующим образом: состояние некоторой механической системы можно получить из состояния соответствующего определенному моменту времени при помощи касательного преобразования (16). Поэтому "производящая" функция такого преобразования должна удовлетворять дифференциальному уравнению Гамильтона-Якоби (18) рассматриваемой задачи. Эта функция является "полным интегралом" (18), в том смысле, что она содержит произвольных постоянных

Значение функции при таком выборе постоянных можно выяснить с помощью § 2, (39). Если за величинами сохранить выбранное выше значение и положить то для этих двух моментов времени или и, следовательно, это уравнение можно переписать следующим образом:

Сравнивая с (15), мы получим:

Так как уравнения движения Гамильтона § 1, (52) дают возможность перейти от состояния соответствующего моменту времени к близкому состоянию соответствующему моменту времени то эти уравнения представляют собой бесконечно малое касательное преобразование, как и аналогичные им уравнения геометрической оптики гл. I, § 1, (68).

Согласно ур-нию (21) функция есть аналог точечного эйконала геометрической оптики [см. § 2, (2)].

Если функция входящая в ур-ние (16), не удовлетворяет ур-нию (18), а является произвольной функцией, то касательное преобразование (16) заключается попросту в переходе к новым "каноническим переменным" тогда как в частном случае (21) каждая "траектория движения" преобразуется сама в себя.

При этом, исходя из условия (15), что уравнения

должны представлять собою канонические преобразования, можно кроме того исключить произвольную функцию и таким образом характеризовать ур-ния (22) при помощи дифференциальных соотношений, как касательные преобразования. Если обозначить опять через скобки Пуассона для двух функций зависящих от [§ 1, ур-ние (61)], то необходимые и

достаточные условия для того, чтобы преобразования вида (22) являлись касательными преобразованиями, заключаются в том, чтобы:

Величины называются переменными, канонически сопряженными с переменными -мерном пространстве переменных согласно величины и будут канонически сопряженными друг относительно друга перемеппыми, если выразить при помощи § 1, (62) через Функция Гамильтона выраженная через любые канонические переменные не имеет уже более того вида, который рассматривался нами в § 1, (53); в этом случае она и для механических систем может являться произвольной функцией переменных

Частный случай касательных преобразований можно получить, заменив при помощи уравнений вида новыми координатами выразив величину К при помощи § 1, (10) через и затем, определив согласно § 1, (7), посредством равенств Для однородной квадратичной функции К, согласно § 1, (26), мы получим:

Поэтому могут быть определены также из тождества:

Так как преобразуется в при помощи линейных однородных преобразований, то переход от должен совершаться при помощи контраградиентного преобразования, которое, таким образом, также является линейно однородным. Определенные таким путем преобразования называются обобщенными точечными преобразованиями. Они представляют собою частный случай однородных касательных преобразований, определяемых ур-ием (22) и названных на основании тождества (25) касательными преобразованиями. В самом деле, ур-ние (25) является частным случаем ур-ния (15).

1
Оглавление
email@scask.ru