2. Касательное преобразование, канонические переменные.

Мы говорим что состояние механической системы определено, если заданы значения координат и импульсов момент времени и энергия При этом необходимо заметить, что для того, чтобы описать состояние системы, собственно говоря, достаточно задать первые величин и так как этим самым определяется и энергия системы. Однако в некоторых отношениях удобнее задавать все величин. Если теперь ввести функций от то "состояние" будет определяться этими новыми величинами точно так же, как и координатами импульсами и временем При этом опять следуетиметь в виду, что одно из уравнений преобразования оказывается излишним, так как преобразование энергии определяется уравнениями преобразования и времени Таким образом, в -мерном пространстве переменных вводятся новые криволинейные координаты с помощью уравнений:

Так как величина является, согласно (6), функцией от то следует, что между существует некоторое соотношение. Если относительно первоначальных величин, характеризующих состояние системы, нам известно, что величины определяют положение, (вместо с состояние движения, момент времени и энергию, то относительно новых величин, характеризующих состояние системы, можно только сказать, что они все вместе определяют положение и скорость, время и энергию.

Большое значение в механике имеют такие преобразования (10), которые озтавляют неизменным вид системы канонических уравнений движения Гамильтона (7). Это нужно понимать следующим образом: если мы выразим с помощью соотношения между вытекающего из (10) и (6), величину как функцию остальных величин, то мы получим уравнение

Функцию называют функцией Гамильтона, преобразованной при помощи ур-ний (10). Инвариантность уравнений (7) относительно преобразования (10) выражается, следовательно, тем, что они переходят в уравнения

Точно так же ур-ния (9), вытекающие переходят в

При этом величины называют каноническими переменными и, в частности, величину называют канонически сопряженной с Такое "каноническое преобразование" характеризуется тем, что выражение

представляет собою полный дифференциал произвольной функции от В частности, если положить т. е. если не преобразовывать время то мы получим из (11):

Если вместо и подставить их значения из (6) и (14), то условие (13) для нашего канонического преобразования примет вид:

но так как

то из (15), сравнивая коэффициенты, мы получим:

и

Инвариантность канонических ур-ний (7) и (9) относительно преобразовг (17) лежит в основе одного из методов интегрирования первоначальной системы уравнений. В самом деле, мы можем выбрать "производящую" функцию канонического преобразования таким образом, чтобы новая фупкци» Гамильтона имела возможно более простой вид, например, тождественно обращалась в нуль. В этом случае можно без труда проинтегрировать новую систему с переменными При этом для 2, согласно (17), мы получим

Таким образом, мы пришли к дифференциальному уравнению Гамильтона-Якоби, известному из аналитической механики. Оно аналогично уравнения эйконала (6а) геометрической оптики. Нахождение интеграла дифференциальное уравнения в частных производных (18), содержащего произвольных постоянны; эквивалентно интегрированию системы (9), так как последнюю в новых переменных легко представить в виде:

вследствие того, что Таким образом, величины в (16) сделаются постоянными, если вместо подставить решения ур-ния (9), и удовлетворяет ур-нию (18). Поэтому полным интегралом в (18), т. е. решением с произвольными постоянными можно воспользоваться для решения уравнений движения (9). Если решить систему ур-ний (16) относительно переменных и то эти переменные будут представлять собою функции от и от 2» постоянных Таким способом, согласно § 2, 6, мы получим наиболее общее решение уравнений движения (9).

В качестве постоянных можно, например, выбрать значения в определенный момент времени. Тогда связь между ур-ниями (16), (17) и интегрированием уравнений движения может быть выражена следующим образом: состояние некоторой механической системы можно получить из состояния соответствующего определенному моменту времени при помощи касательного преобразования (16). Поэтому "производящая" функция такого преобразования должна удовлетворять дифференциальному уравнению Гамильтона-Якоби (18) рассматриваемой задачи. Эта функция является "полным интегралом" (18), в том смысле, что она содержит произвольных постоянных

Значение функции при таком выборе постоянных можно выяснить с помощью § 2, (39). Если за величинами сохранить выбранное выше значение и положить то для этих двух моментов времени или и, следовательно, это уравнение можно переписать следующим образом:

Сравнивая с (15), мы получим:

Так как уравнения движения Гамильтона § 1, (52) дают возможность перейти от состояния соответствующего моменту времени к близкому состоянию соответствующему моменту времени то эти уравнения представляют собой бесконечно малое касательное преобразование, как и аналогичные им уравнения геометрической оптики гл. I, § 1, (68).

Согласно ур-нию (21) функция есть аналог точечного эйконала геометрической оптики [см. § 2, (2)].

Если функция входящая в ур-ние (16), не удовлетворяет ур-нию (18), а является произвольной функцией, то касательное преобразование (16) заключается попросту в переходе к новым "каноническим переменным" тогда как в частном случае (21) каждая "траектория движения" преобразуется сама в себя.

При этом, исходя из условия (15), что уравнения

должны представлять собою канонические преобразования, можно кроме того исключить произвольную функцию и таким образом характеризовать ур-ния (22) при помощи дифференциальных соотношений, как касательные преобразования. Если обозначить опять через скобки Пуассона для двух функций зависящих от [§ 1, ур-ние (61)], то необходимые и

достаточные условия для того, чтобы преобразования вида (22) являлись касательными преобразованиями, заключаются в том, чтобы:

Величины называются переменными, канонически сопряженными с переменными -мерном пространстве переменных согласно величины и будут канонически сопряженными друг относительно друга перемеппыми, если выразить при помощи § 1, (62) через Функция Гамильтона выраженная через любые канонические переменные не имеет уже более того вида, который рассматривался нами в § 1, (53); в этом случае она и для механических систем может являться произвольной функцией переменных

Частный случай касательных преобразований можно получить, заменив при помощи уравнений вида новыми координатами выразив величину К при помощи § 1, (10) через и затем, определив согласно § 1, (7), посредством равенств Для однородной квадратичной функции К, согласно § 1, (26), мы получим:

Поэтому могут быть определены также из тождества:

Так как преобразуется в при помощи линейных однородных преобразований, то переход от должен совершаться при помощи контраградиентного преобразования, которое, таким образом, также является линейно однородным. Определенные таким путем преобразования называются обобщенными точечными преобразованиями. Они представляют собою частный случай однородных касательных преобразований, определяемых ур-ием (22) и названных на основании тождества (25) касательными преобразованиями. В самом деле, ур-ние (25) является частным случаем ур-ния (15).