2. Закон сохранения энергии и однозначность решений.

Если мы умножим скалярно на на и вычтем из (11), мы получим справа:

и следовательно:

Вводя сокращенные обозначения мы будем иметь:

представляет полную объемную плотность электромагнитной энергии: уравнение (6) формулирует теорему Пойнтинга Pointing) - закон сохранения энергии для электромагнитного поля. Этот закон выражает, что энергия в Некотором элементе объема изменяется, с одной стороны, вследствие наличия потока энергии (который называется также вектором Пойитинга), с другой стороны — вследствие выделения тепла

В непроводниках уравнение (6) выражает сохранение электромагнитной энергии в пространстве и времени.

Пусть теперь На будут решения основных уравнений, исчезающие на бесконечности и тождественные во всем пространстве для Мы покажем, что и для они останутся тождественными. Для этой цели возьмем разности полей которые, вместе с соответствующими величинами также удовлетворяют уравнениям (1) и (2) вследствие их линейности. Поэтому остается в силе и уравнение (6), причем теперь нужно понимать под выражения образованные с помощью разностей полей.

Ограничим пространство поверхностью расположенной на очень большом расстоянии, и проинтегрируем выражение (6) по пространству, ограниченному этой поверхностью. Проинтегрированные выражения мы обозначим чертой наверху. Получается:

Для перехода от объемного интеграла к поверхностному в правой части применена теорема Гаусса.

По предположению, исчезают на и мы положим, что они исчезают настолько быстро, что правая часть (7) стремится к нулю. Остается, следовательно,

Правая часть этого уравнения [см. (VI) и (V)], так что не может увеличиваться со временем. Но необходимо обращается в нуль при в. Отсюда мы заключаем, что для всех

т. е.

что и нужно было доказать.

Доказательство остается без изменения, если 2 лежит на конечной расстоянии. Поля определены тогда только внутри Предположим, что они совпадают при Кроме того они должны удовлетворять на одинаковым граничным условиям, так как оба поля являются

решением одной и той же задачи. Для этого достаточно, чтобы тангенциальные составляющие и для всех были равны. Правая часть (7) исчезает также и в это случае. Из (8) следует затем (черта сверху теперь обозначает интегрирование по области внутри для и для пространства внутри Электромагнитное поле определяется в этом случае однозначно начальными и одним из приведенных выше граничных условий, при произвольном распределении материи (проводников, диэлектриков и т. д.) внутри При этом мы можем допускать и анизотропные тела; для них, по будут положительно определенные формы от напряжений поля, так что наши «включения сохраняются и здесь.

Замечательно, что основное физическое понятие энергии оказывается пригодным также и для доказательства однозначности. Мы можем рассматривать это как указание на глубокую гармонию между математическими и физическими понятиями.

Для проблемы колебаний предыдущее доказательство дает не очень много. В этом случае дело идет не о распространении заданного начального состояния, а о периодически возвращающихся состояниях. Броме того, однозначность может здесь зависеть от возможности собственных колебаний. Однако, предыдущее доказательство поучительно для общего понимания уравнений Максвелла и причинной определенности представляемых им процессов.