Для вычисления компонентов новых векторов напряжений умножим скалярно каждое из уравнений (6) на единичные векторы 
новых координатных осей. Тогда, например:
Таким образом, умножение первого из уравнений (6) на 
дает:
Выражения для остальных восьми компонентов вполне аналогичны формуле (7). В этих формулах для получения компонентов напряжения в повернутой системе надо сложить все девять старых компонентов, умножив предварительно каждый на два соответственных направляющих косинуса. Индексы в направляющих косинусах получаются по следующему правилу. Первые индексы этих косинусов совпадают со значками компонента напряжения, стоящего в левой части, а вторые индексы совпадают с значками умножаемого компонента напряжения, причем величины 
п. следует формально рассматривать как различные и, кроме того, полагать
Девять величин 
преобразующиеся по вышеописанному закону, образуют так называемый "тензор напряжений". В силу условий (5) тензор напряжений "симметричен" и легко видеть, что эта симметрия сохраняется в любой новой повернутой системе координат.
Главные оси напряжений. При исследовании напряжений в данной точке тела возникает вопрос, как выбрать направление осей координат, чтобы получить особенно простые выражения для напряжений. Это оказывается действительно возможным; а именно можно подыскать такие направления осей, для которых скалывающие напряжения обращаются в нуль, так что остаются одни нормальные напряжения (следует здесь же заметить, что подобное упрощение не может быть достигнуто одновременно для всех точек упругого деформированного тела в котором напряжения меняются от точки к точке, а лишь для каждой отдельной точки). Оси координат, имеющие такие направления, что для них пропадают скалывающие напряжения, называются главными осями напряжения или осями главных напряжений. Соответствующие нормальные напряжения называют главными.
Пусть 
в уравнении (1) есть направление одной из таких главных осей, а о— соответствующее нормальное напряжение. Так как на площадку, перпендикулярную к этой оси, не действуют скалывающие напряжения, то вектор напряжения 
совпадает с направлением 
Поэтому его компоненты по координатным направлениям 
будут 
и 
Разложив
векторное уравнение (1) на три скалярных, беря компоненты векторов по осям координат, получим три уравнения:
или
Эти уравнения суть линейные однородные уравнения, служащие для определения 
т. е. для определения главных осей. Как известно, система линейных однородных уравнений (8) имеет решения, отличные от нуля только в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов, обращается в нуль, т. е. если
Определитель в девой части симметричен (так как 
), и поэтому уравнение (9) имеет три вещественных корня 
Подставляя вместо о в уравнение (8), например, 
мы получим значения 
с точностью до общего множителя, который определяется из условия:
Таким образом, мы найдем направление одной из осей. Направления остальных двух главных осей находятся аналогично подстановкой 
вместо о в уравнения (8).
Как известно, найденные таким образом три главных оси взаимно перпендикулярны. Если мы перенумеруем главные напряжения так, что о, есть наибольшее, 
среднее и 
наименьшее из главных напряжений, то 
, будут максимальным, а 
минимальпым нормальным напряжением (в данной точке тела) среди нормальных напряжений, соответствующих всевозможным направлениям.
Следует отметить аналогию наших результатов с известными результатами векторного исчисления. Задавая главные напряжения, и соответствующие главные направления, мы задаем напряженное состояние в данной точке аналогично тому, как задается вектор своей величиной и направлением. Вектор, кроме того, может быть задан своими составляющими по осям, а напряженное состояние, вполне аналогично, девятью компонентами напряжения в данной координатной системе.
Бели чины главных напряжений, так же как и длина вектора, не зависят от выбора системы координат. Отсюда можем заключить, что и коэффициенты уравнения (9), определяющего главные напряжения, тоже не должны зависеть от выбора координатной системы. Выпишем уравнение (9) в развернутом виде, умножив его предварительно на —1:
Коэффициенты при различных степенях о, не зависящие от выбора системы координат, носят название инвариантов напряженного состояния. Их значения мы получим, повернув систему координат до совпадения ее с тремя главными направлениями; это дает
в согласии с известными формулами элементарной алгебры.
Формулы, выражающие компоненты напряжения в произвольной системе осей координат 
через главные напряжения, являются особенно простыми. Если 
направляющие косинусы 
главной оси относительно осей 
то
и т. д. циклической перестановкой 
Рис. 10.
образуют со старыми 
углы с направляющими косинусами 
Векторы напряжений для площадок, перпендикулярных к новым осям, будут
возьмем последовательно 
и 
это дает:
