3. Поле между двумя конечными ограниченными проводниками.

Если ограничены оба проводника, между которыми ищется поле, или, по крайней мере, один из них, то соответствующая задача отличается от предыдущей тем, что пространство вне проводников является двусвязным. При этом нужно различать два случая, из которых составляется общий случай:

a) Оба проводника имеют равные и противоположные но знаку заряды; в этом случае ноле на бесконечности стремится к нулю (см. § 4, 1), так что бесконечно удаленная точка регулярна.

b) Оба проводника имеют одинаковый заряд; потенциал на бесконечности является логарифмически бесконечным, комплексная потенциальная функция имеет там заданную логарифмическую особую точку. Можно также рассматривать первый случай как однородный, а второй как неоднородный.

а) Однородный случай. Нахождение потенциальной функции, которая на доверхности обоих замкнутых проводников принимает постоянные значения с разностью мы опять истолкуем как отображение плоскости на плоскость точнее на полосу между осью и Искомый потенциал тогда равен Вследствие двусвязности внешней области в плоскости это отображение не может быть одно-однозначным; оно должно быть одно-многозначным соответственно разделению полосы плоскости на бесконечно большое число конгруэнтных прямоугольников, длина стороны которых должна быть определена. При этом всю внешнюю область плоскости нужно отобразить на каждый такой прямоугольник плоскости Простейший случай этого рода представляет собой задача в § 4, 2, где речь идет о внешней области двух эксцентрических окружностей. Комплексная потенциальная функция для этого случая найденная в § 4, 3, действительно обладает тем свойством, что ее вещественная часть при обходе одной из точек или возрастает на постоянную величину в то время как мнимая часть не изменяется.

В случае двух замкнутых многоугольников можно опять применить метод Шварца, вычисляя сначала выражение:

показатели которого определяются внешними углами многоугольника. При этом нулевые точки распадаются на точки, соответствующие первому многоугольнику и лежащие на оси и и точки, соответствующие второму многоугольнику и лежащие на оси и Функция не должна иметь нулей в полосе между и на ее краях, и она должна быть выбрана таким образом, чтобы были выполнены условия периодичности и вещественности. Последним можно удовлетворить, как и в 2, тем, что мы выберем в качестве функции функцию от так как это выражение положительно и вещественно вдоль оси к и отрицательно и вещественно вдоль оси Таким образом, в функцию вводится период С другой стороны, вследствие разделения на прямоугольники она должна обладать вещественным периодом. Следовательно, она обладает свойствами двойной периодичности того же типа, что и эллиптические функции с прямоугольным параллелограмом периодов, и поэтому всегда может быть выражена через эти функции.

В качестве примера мы рассмотрим случай, на котором Гельмгольц выяснил значение метода отображений: две бесконечно длинные параллельные конденсаторные пластины, которые однако теперь, в противоположность задаче, рассмотренной в 2 а (см. рис. 74), имеют конечную ширину. Их контур в плоскости состоит из двух параллельных разрезов, причем четыре вершины, т. е. точки образуют прямоугольник (рис. 76). Эти вырезы можно рассматривать как предельный случай многоугольников, а именно как двуугольники. Их

внешней областью является вся бесконечная плоскость причем напряжение поля с обеих сторон разреза будет принимать различные значения, и противоположные точки разреза нужно при отображении считать различными точками, но только с одинаковыми и. Вследствие симметрии мы можем, пользуясь отражением, ограничиться тем, что отобразим полуплоскость, ограниченную верхним разрезом и вещественной осью , в а половину полосы в плоскости лежащую между осью и (несколько обобщая то, что было прежде), параллелью и — К, где К подлежит определению. Оба "внешние" утла двуугольника равны те, так что все значения равны 1.

На параллелях плоскости в этом случае на каждой длине периода должны лежать две нулевые точки выражения соответствующие обоим краям разреза, причем, так как то эти нули простые. При отображении полному обходу вокруг сечения соответствует увеличение вещественной части переменной на постоянную величину, которую можно обозначить через 2 К. На ту же самую вещественную величину увеличивается (вследствие отображения в прямоугольнике) в том случае, когда мы проходим всю вещественную ось а; от до

Рис. 76.

Следовательно, представляют собой стороны параллелогра периодов в плоскости причем верхняя полуплоскость соответствует половине прямоугольника со сторонами Точке оси х соответствует в каждом прямоугольнике плоскости точка оси причем здесь можно выбрать точки Речь идет здесь о полюсе второго порядка, так как не меняет знака при прохождении через этот полюс (т. е. вблизи точки имеет порядок или порядок в согласии с примечанием в § 4, 1, согласно которому потенциал стремится к нулю при как в том случае, когда сумма зарядов равна 0).

Соответствие плоскости и прямоугольника плоскости устанавливается следующим образом: соответствует причем это полюсы второго порядка; при этом точке на основании соображений симметрии соответствует При этом середине разреза на его нижней стороне соответствует а той же точке на верхней стороне разреза соответствует так как переход от верхней к нижней стороне еоответствует здесь половине обхода (см. по рис. 76).

Всем этим свойствам можно удовлетворить введением функции Якоби:

где

причем нули этой функции находятся в тех точках, в которых должно обладать полюсами второго порядка. При этом оказывается выраженным черев некоторую функцию, аналогичную функции Вейерштрасса:

и формула отображения поэтому имеет вид:

Для выполнения дальнейших условий мы должны определить постоянные и отношение периодов или модуль эллиптических функций. Постоянные должны равняться нулю, первая потому, что при увеличении аргумента на должно быть чисто периодическим; но это свойство уже имеет, по определению, часть с множителем А. Далее, потому, что, при должно обращаться в нуль, а этим свойством, в силу уравнения (25), обладает. Следовательно, остается:

Но, как известно из теории эллиптических функций, функция [совпадающая с функцией Якоби вещественна вдоль параллели и с точностью до аддитивной мнимой постоянной и не имеет полюсов на этой линии. Следовательно, она должна на протяжении каждого периода иметь максимум и минимум.

Эти значения представляют собой нули выражения , соответствующие обоим краям разреза. "Дальнейший ход вычислений следующий: положение одного из этих нулей вычисляется как функция от отношения периодов, причем принимается в расчет, что известным образом связана с следовательно, табулирована; после этого с помощью таблиц для (эллиптический интеграл второго рода) вычисляют соответствующие значения Требование представляет собой условие, определяющее отношение периодов или модуль k. Если эти величины известны, то (27) дает также постоянную А в форме Наконец, представляет собой искомую комплексную потенциальную функцию.

b) Неоднородный случай. Второй случай, который вместе с изученным уже случаем дает решение общей задачи, заключается в том, что оба замкнутые многоугольника в плоскости имеют одинаковый потенциал, и поэтому, в силу симметрии формы проводников, несут одинаковые заряды, которые можно обозначить через

При этой на большой расстоянии потенциал ведет себя, на основании § 4, 1, как

Примененный выше метод отображения может быть использован также и для решения этой задачи. С помощью этого отображения устанавливается соответствие между бесконечно удаленной точкой плоскости и рядом точек:

плоскости Искомая комплексная потенциальная функция, — назовем ее имеет в каждой из этих точек логарифмический полюс с зарядом Действительно, как мы сейчас докажем, при конформном отображении поля заряд соответствующих частей поверхности проводника остается неизменным, а такими частями можно считать большой круг в плоскости и каждый маленький круг, охватывающий полюс на плоскости

Действительно, на поверхности проводника плоскости плотность заряда, согласно (26) § 4, равна

Конформное отображение

дает

С другой стороны, элемент длины плоскости переходит при отображении в элемент длины плоскости причем

Следовательно, если проинтегрировать вдоль соответствующих частей поверхности проводника, то, согласно (28), (29), мы будем иметь:

Но ведь последнее выражение представляет собой заряд части проводника в плоскости чем и доказано наше утверждение.

Мы имеем теперь, следовательно, в плоскости следующую задачу; Ищется потенциальная функция которая принимает одинаковые постоянные значения вдоль обоих параллельных прямолинейных проводников и которая в точках должна иметь логарифмически полюсы с зарядом Для решения задачи мы поступим следующим образом.

Сначала мы отравим ряд полюсов (назовем его "действительным" рядок полюсов и обозначим значком 0, рис. 77) в обеих ограничивающих прямых и при. пишем зеркальным отображениям полюсов заряды, равные и противоположные знаку действительным зарядам, следовательно заряды Отраженные рядй обозначим значками . Тогда ряд полюсов вместе с изображениями влетворяют условию постоянства потенциала на верхней стенке с другой стороны ряд полюсов вместе с изображениями 1 удовлетворяет тому же условию на нижней стенке и Однако, изображения 1 не удовлетворяют

условиям на нижней стенке, а изображения 1 не удовлетворяют условиям на верхней стенке. Для того чтобы также и эти условия были удовлетворены, необходимо еще раз отразить ряд 1 в нижней границе в верхней границе и таким образом мы получим два новых ряда . Эти новые изображения опять получают противоположный заряд, т. е. заряд Продолжая таким образом дальше, мы получаем, наконец, полё в физической области между прямыми и представленное как поле решетки, которая в каждом горизонтальном ряду имеет последовательно заряды При этом логарифмические полюсы с зарядом лежат в точках полюсы с зарядом лежат в точках для всех положительных и отрицательных чисел включая знаки на рис. 77).

Это поле логарифмических полюсов обладает двойной периодичностью эллиптических функций с периодами что касается его сходимости, то к ней применимы теоремы, известные из теории эллиптических функций. Комплексная потенциальная функция, которая получается в результате суммирования отдельных полюсных функций, может быть, согласно § 4, 3, написана в виде:

Рис. 77.

Функция должна иметь полюсы первого порядка во всех точках решетки с положительным знаком и нуди первого порядка во всех точках решетки с отрицательным знаком. Эти условия выполняет функция Якоби

если определить модуль таким образом, чтобы соответствующее отношение периодов равнялось в то время как примененное выше конформное отображение давало отношение периодов Для этой цели нужно положить (ср. Jacobt, Fundamenta nova)

откуда

Соответствующие полные интегралы равны

Остается положить после чего периоды функции действительно принимают значения и В таком случае искомая потенциальная функция, согласно (28), (29), представляет собой мнимую часть следовательно,

что решает задачу полностью.

Постоянный потенциал на стенках получается из его значения в точках этих точках значения равны:

На основании формулы, известной из теории эллиптических функций, имеем:

Поэтому потенциал на стенках равен:

Далее, вдоль окружности малого радиуса окружающей действительный: полюс, надо положить:

и значит разность потенциалов между этой окружностью и стенками

Значение

определяет емкость системы, рассчитанную на полюс, если представлять себе полюсы как реальные поперечные сечения проводников малого радиуса