10. Гидростатика; плавание.

Условия равновесия непосредственно получаются из уравнений Эйлера, они имеют вид:

Они показывают, что выражение

должно быть полным дифференциалом Это значит, что должно существовать семейство поверхностей, перпендикулярных к силовым линиям, каковым как раз и является семейство поверхностей равного давления. Если внешние силы консервативны, то условия равновесия принимают вид

где V есть потенциал внешних сил. Отсюда следует, что при действии консервативных сил равновесие возможно только в том случае, если плотность есть постоянная или функция только от давления (так что при наличии термических процессов равновесие невозможно). Обратно, если плотность постоянна или зависит только от давления, то никакие силы, кроме консервативных, не могут создать равновесия. В этом случае новерхпости равного потенциала являются вместе с тем и поверхностями постоянногр давления и постоянной плотности. Свободная поверхность при равновесии всегда будет эквипотенциальной поверхностью.

Простейшим примером является изотермическое равновесие атмосферы. В этом случае нужно положить плотность пропорциональной давлению

Единственная действующая сила есть вес единицы массы, измеряемый ускорением силы тяжести

Третье из уравнений равновесия (30) принимает вид:

и после интегрирования дает так называемую барометрическую формулу:

в ее простейшем виде, где суть соответственные значения давления и высоты.

Случаем, более важным в гидродинамическом отношении, является равновесие тяжелой несжимаемой жидкости с погруженными в нее частично или целиком телами. Давление жидкости на поверхность тела дает равнодействующую силу, направленную вверх и проходящую через центр тяжести вытесненного погруженной частью тела объема жидкости. Величина этой гидростатической подъемной силы равна весу вытесняемой телом жидкости. Это есть принцип Архимеда в его первоначальной формулировке, соответствующей частному случаю.

Когда тело частично погружено в жидкость и плавает, то подъемная сила уравновешивает вес тела.

Вопрос о положениях равновесия плавающего тела и об устойчивости этих, положений равновесия находит исчерпывающее решение в геометрической теории Дюпена, основы которой мы здесь вкратце изложим. В каждом положении плавающего тела плоскость поверхности воды — плоскость плавания — отсекает от него погруженный в воду объем, величина которого определяется принципом Архимеда. Каждому положению этой плоскости плавания соответствует определенное положение центра пловучестн С, определяемого как центр тяжести вытесненного телом объема жидкости. Геометрическое место центров пловучести называется поверхностью пдовучести. Если тело в положении равновесия свободно плавает, то нормаль к поверхности пловучести в точке, являющейся для данного положения равновесия центром пловучести, проходит через центр тяжести всего тела и расположена вертикально. Таким образом, определение возможных положений равновесия сводится к отысканию тех нормалей к поверхности пловучести, которые проходят через центр тяжести Обе точки, нормали С, которые являются центрами кругов кривизны в главных сечениях поверхности пловучести, проходящих через С, называются метацентрами соответствующего положения плавающего тела. Если оба метацентра лежат выше центра тяжести тела, то положение равновесия устойчиво (остойчиво); если хоть один из метацентров расположен ниже центра тяжести, то положение равновесия неустойчиво (не остойчиво). Теория Дюпена сводит плавание тела к катанью по горизонтальной плоскости вспомогательного тела, ограниченного поверхностью пловучести.

Возвращаясь еще раз к принципу Архимеда следует отметить, что в настоящее время под этим названием разумеют теорему, гораздо более общую, чем та, которая принадлежит самому Архимеду, а именно следующую. Если тело совершает в несжимаемой жидкости некоторое виртуальное перемещение (в котором по необходимости принимает участие и окружающая тело жидкость), то виртуальная работа произвольных внешних консервативных сил при этом как. раз равна работе, которую эти силы совершили бы при том же перемещении тела, если бы оно находилось в пустоте, а масса каждого элемента его объема была уменьшена на массу жидкости, вытесняемой этим элементом.

Если действующая сила есть сила тяжести, то мы получаем отсюда обычный принцип Архимеда.